选择合适的方法解决初中概率问题

选择合适的方法解决初中概率问题

郭亚莉

（蒲城县矿区初中，陕西　蒲城　715500）

【摘要】按照《新课标》的要求，初中生要学会计算简单事件发生的概率，并能解决生活中的一些现实问题。那么，选择怎样的教学方法能让初中学生很快解决概率问题呢？这就首先要求我们教师对概率知识有更系统的认识，对现实中各种概率问题进行总结分类，并且熟练掌握各种方法解决概率问题的特点，只有这样才能得心应手地教会教好学生。

【关键词】概率　问题　解决

纵观初中数学，概率问题可以分为两大类：一类是可以列举出所有实验结果的，我们用列举法解决；一类是试验结果无限，列举法不能解决，我们用几何法解决。

第一类用列举法解决的概率问题又可分为4种类型：

一、枚举法

它主要解决：一步试验发生的概率。

例1：随意掷一枚均匀的骰子，求6点朝上的概率？

解：随意掷一枚均匀的骰子，所有可能出现的结果有6种：“1”朝上，“2”朝上，“3”朝上，“4”朝上，“5”朝上，“6”朝上，而“6点朝上”只是其中一种结果，所以P_{（6点朝上）}=1/6。

例2：袋子里放了红、白、蓝3个除颜色不同外完全相同的球，求从中任意摸出一个球是白球的概率？

解：从袋子中任意摸出一球分别有“红”“白”“蓝”3种结果，而“摸到白球”只是其中的一种结果，所以P_{（摸到白球）}=1/3。

诸如此类的事件，均为一步试验，应选枚举法解决。

二、列表法

主要应用于两步试验发生的概率，它是将所有事件及发生的可能性画在表格中，再根据表中的结果求事件发生的概率。它又分为“用两个道具进行的两步试验”和“用一个道具进行的两步试验”。

（一）用两个道具进行的两步实验

例3：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，分别转动两个转盘，指针都指向红色的概率是多少？

解：

由表格得知，共有12种结果，每个结果出现的可能性相同，而（红，红）占了其中的1种，所以P_{（指针同时指向红色）}=1/12。

（二）用同一个道具进行的两步试验

例4：袋子中装有除了颜色外完全相同的2个红球和3个白球，问：（1）第一次摸出一个球记下颜色后放回袋子，再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？

（2）第一次摸出一个球后不放回，再摸第二个球，问两次都摸到红球的概率是多少？

（3）从袋子中任意摸出两个球，都是红球的概率是多少？

解：（1）

续表

由表格知：共25种试验结果，每种结果出现的可能性相同，而（红，红）占了4种，因此，P_{（两次都摸到红球）}=4/25。

（2）：

由表格知：共有20个等可能出现的结果，其中（红，红）占了2个？，所以P_{（两次摸到红球）}=2/20=1/10

（3）：

由表格知：共有10种试验结果，其中（红，红）占了1种，所以从中任摸两个球是红球的概率为1/10。

这3个问题的区别在于：（1）第一次摸出球后放回去，再摸第2个球，画出的表格完整；（2）第一次摸出球后不放回去，接着摸第2个球，画出的表格无对角线部分；（3）同时从里面摸出两个球，画出表格无对角线及以下部分。

三、数线段法

（一）解决“从多个物体中同时取出两个物体”的概率问题，这种方法用于解决列表法的第三个问题尤其简单，如下图

从所连线中看出有10种试验结果，其中（红红）只占1种，因此同时摸出两红球概率为1/10。

（二）解决“多个物体中剩下2个物体”的概率问题

例5：有5条线段，长度分别是2，3，4，5，6，任取其中的3条组成三角形的概率有多大？

分析：可通过数线段的方法解决：“剩2取3”。

解：①剩“2，3”，取“4，5，6”，因为4+5＞6，所以能组成三角形；

②剩“2，4”，取“3，5，6”，因为3+5＞6，所以能组成三角形；

③剩“2，5”，取“3，4，6”，因为3+4＞6，所以能组成三角形；

④剩“2，6”，取“3，4，5”，因为3+4＞5，所以能组成三角形；

⑤剩“3，4”，取“2，5，6”，因为2+5＞6，所以能组成三角形；

⑥剩“3，5”，取“2，4，6”，因为2+4=6，所以不能组成三角形；

⑦剩“3，6”，取“2，4，5”，因为2+4＞5，所以能组成三角形；

⑧剩“4，5”，取“2，3，6”，因为2+3＜6，所以不能组成三角形；

⑨剩“4，6”，取“2，3，5”，因为2+3=5，所以不能组成三角形；

⑩剩“5，6”，取“2，3，4”，因为2+3＞4，所以能组成三角形。

从数线段的结果看，共有10种取的方法，其中7种能构成三角形，所以，本题任取3条线段能构成三角形的概率为7/10。

由上例可知：用数线段法解决从多个物体当中“取两个”和“剩两个”的概率问题时，把概率知识与小学学过的数线段知识相联系，既加强了新旧知识之间的联系，又使问题变简单易懂。我们教师可以适当的采取这种方法进行教学。

四、画树状图法

一般用于两步及两步以上试验发生的概率，它将事件发生的所有可能性按事件发生的步骤一一列出，最后再求概率，准确而简捷。

例6：将一枚硬币连掷3次，求全是正面向上的概率？

解：

由图知：总共有8种试验结果，其中（正正正）共有一种，所以P（三次正面向上）=1/8。

这种方法解决两步及两步以上实验更显其优越性，在生活中常遇到的诸如：密码锁、电话号码等概率问题都可以用这种方法解决。

初中概率还有一类无法枚举所有的试验结果，因其结果无限，这时我们就要考虑用几何法解决，这又分为3种情况：

（一）运用“线段图”解决

例1：有一截绳子共5米，其中2米是红色，3米是绿色，将其剪成任意两段，问剪口在红色区域的概率？

解：

因为红色绳子占绳子总长度的2/5，所以剪口落在红色区的概率为2/5。

像这一类的问题，我们运用线段图解决。

（二）运用“面积图形”解决

这种方法用事件发生时所占的面积与总面积的比值来表示该事件发生的概率。

例2：一只小鸟在空中自由自在地飞行，随意落在如图所示的草坪上某个方格中（方格除颜色外完全一样），则小鸟停留在灰色方格中的概率是多少？

解：总面积有10个方格，其中灰色方格有5个，占总面积的1/2，所以鸟停留在灰色方格的概率为1/2。

像转盘指针指向问题，打靶命中8环问题等均可用此法解决。

（三）运用“立体图形”解决

例3：有一块表面是咖啡色，内部是白色，形状是正方体的烤面包，面包内有一粒绿豆，小明用刀在它的上表面、前表面和右侧面沿虚线各切两刀（如图1），将它分成若干块小正方体形面包（如图2）。

绿豆落在有且只有两个面是咖啡色的小面包块中的概率是多少？

图1

图2

解：面包被切成了大小均匀的27块，其中有且只有2个面是咖啡色的有12块，占总体积的12/27，即4/9，所以，绿豆落在有且只有两个面是咖啡色的小面包块中的概率是4/9。

通过以上诸例的介绍，各种方法的特点已十分清楚，初中段所有概率问题只要分清类型，找对方法，所有问题便可迎刃而解。