国王赏不起的米

53.国王赏不起的米

古印度有个国王，非常爱玩，有一次下令在全国张贴招贤榜：如果谁能替国王找到奇妙的游戏，将给予重赏。

一个术士揭了招贤榜。他发明了一种棋，使国王玩得舍不得放手。国王高兴地问术士道：“你对本王的赏赐要求些什么？”术士赶忙拜倒：“大王陛下在上，小小术士没有特殊的要求，只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米，在第二个格子里放下两粒米，在第三个格子里放下4粒米，然后在以后的每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米，64个格子放满了，也就是我要求的奖赏了。”国王一听，这点米算什么，就一口答应了。可是，当找来算师一五一十地算了以后，使国王大吃一惊，原来这些米可以覆盖全地球，全世界要几百年才能生产出来，根本无法赏给这位术士。

为什么这个棋盘里的米会有这么多呢？

让我们算一算看：

第一个格子里是1粒，第二个格子里是2粒，一共有3粒，或者，等于：

2×2－1＝3。

加上第三个格子的4粒，一共是7粒，即

2×2×2－1＝7

再加上第四个格子的8粒，共有15粒，即

2×2×2×2－1＝15。

也等于：

2⁴－1＝15

所以，从第一格到第四格的米粒数就等于2的4次乘方减去1。那么，从第1格到第64格的米粒数，将等于2的64次乘方减去1，即：

为什么这个数字会这么惊人呢？原来这个术士聪明地运用了数学上的几何级数，那是把2作为基本倍数，棋盘上的格数作为这个基本倍数的乘方，即2的n次方。棋盘上一共有64格，n就等于64，但是要减去第一格上那一粒米的数值，即2⁶⁴－1；然后再除以基本倍数减去第一格上数值的差，即2－1。这样，

看来，一粒米、两粒米这个数目很小，算不得什么，可是，用几何级数一算，却成为一个不可想象的巨大数字。愚蠢的国王怎能领会几何级数的奥妙呢。