阿贝－波特成像及空间滤波

1873年阿贝(E．Abbe) 首先提出显微镜成像原理以及随后的阿贝－波特空间滤波实验，这个原理及其相应的实验是傅里叶光学应用的开端，也是空间滤波的先导，在傅里叶光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。

阿贝－波特成像理论和实验，是光的角谱衍射成像理论与透镜的傅里叶变换性质的圆满结合。阿贝－波特成像理论认为，由相干光源照明物体的成像过程中，首先是物体对照明光波产生衍射，其衍射光波通过成像透镜后，被透镜以每一个平行方向传播的光线进行分组，每一组在其频谱面上形成一个点，经过进一步传输过程中的衍射，在像面成像。如果在频谱面上对物体的频谱进行调制或遮挡，就可以在物体的成像面上得到不同效果的图像，这一过程称为空间滤波。

一、实验目的

(1) 学习和掌握阿贝－波特二次成像原理，并进行实验验证。

(2) 通过实验掌握频谱面位置与照明光源位置的关系，物体位置与频谱面上频谱分布的关系。

(3) 通过在频谱面上对频谱分布的调制，观察成像面上图像所受的影响，理解空间频率与频谱面上频谱分布的关系，总结空间滤波的规律。

二、主要实验仪器

防振平台，氦－氖激光器，扩束镜，支架，傅里叶透镜，干版夹，正交光栅，网格字，白屏等。

三、实验原理

1． 阿贝成像原理

用一束平行光照明物体，按照传统的成像原理，物体上任一点都成了一次波源，辐射球面波，经透镜的会聚作用，各个发散的球面波转变为会聚的球面波，球面波的中心就是物体上某一点的像。一个复杂的物体可以看成是无数个亮度不同的点构成，所有这些点经透镜的作用在像平面上形成像点，像点重新叠加构成物体的像。这种传统的成像原理着眼于点的对应，物像之间是点点对应关系。

如图13－1所示，阿贝理论把物体看成是一个复杂光栅，在确定像平面上每一点的光扰动时，首先考虑物体的衍射，然后考虑孔径的衍射。用相干平面波照明，光波被物体衍射，在物镜的后焦面上形成物体的傅里叶频谱。在频谱图中各个极大的中心点看作是相干的次波源中心，它们发出的光波在像平面上叠加，形成物体的像。阿贝成像原理认为透镜的成像过程可以分成两步:第一步是通过物的衍射光在透镜后焦面(即频谱面) 上形成空间频谱，这是衍射所引起的“分频”作用;第二步是代表不同空间频率的各光束在像平面上相干叠加而形成物体的像，这是干涉所引起的“合成”作用。成像过程的这两步本质上就是两次傅里叶变换。如果这两次傅里叶变换是理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似。如果在频谱面上设置各种空间滤波器，挡去某一些空间频率成分，则将会使像发生变化。空间滤波就是在光学系统的频谱面上放置各空间滤波器，去掉(或选择通过) 某些空间频率或者改变它们的振幅和相位，使二维物体像按照要求得到改善。这也是相干光学处理的实质所在。

图13－1 阿贝成像原理

P．物平面;L．成像物镜;F．焦平面;Q．像平面

以图13-1为例，平面物体的图像可由一个二维函数g(x，y) 描述，则其空间频谱G(fx，fy) 即为g(x，y) 的傅里叶变换:

设x'，y'为透镜后焦面上任一点的位置坐标，则式中:

方向的空间频率，量纲为L－1，f为透镜焦距，λ为入射平行光波波长。再进行一次傅里叶变换，将G(fx，fy) 从频谱分布又还原到空间分布g'(x″，y″)。

为了简便直观地说明，假设物是一个一维光栅，光栅常数为d，其空间频率为f0(f0=1/d)。平行光照在光栅上，透射光经衍射分解为沿不同方向传播的很多束平行光，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵。我们知道这一点阵就是光栅的夫琅和费衍射图，光轴上一点是0级衍射，其他依次为±1，±2，…级衍射。从傅里叶光学来看，这些光点正好相应于光栅的各傅里叶分量。0级为“直流”分量，这分量在像平面上产生一个均匀的照度。±1级称为基频分量，这两分量产生一个相当于空间频率为f0余弦光栅的像。±2级称为倍频分量，在像平面上产生一个空间频率为2f0的余弦光栅像，其他依次类推。更高级的傅里叶分量将在像平面上产生更精细的余弦光栅条纹。因此物镜后焦面的振幅分布就反映了光栅(物) 的空间频谱，这一后焦面也称为频谱面。在成像的第二步骤中，这些代表不同空间频率的光束在像平面上又重新叠加而形成了像。只要物的所有衍射分量都到达像平面，则像就和物完全一样。

但一般说来，像和物不可能完全一样，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高频信息不能进入到物镜而被丢弃，所以像的信息总是比物的信息要少一些。高频信息主要反映物的细节。如果高频信息受到了孔径的阻挡而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上分辨这些细节。这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。特别当物的结构是非常精细(例如很密的光栅)，或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射(空间频率为0) 能通过，则在像平面上虽有光照，但完全不能形成图像。

波特在1906年把一个细网格作物(相当于正交光栅)，并在透镜的焦平面上设置一些孔式屏对焦平面上的衍射亮点(即夫琅和费衍射图样) 进行阻挡或允许通过时，得到了许多不同的图像。设焦平面上坐标为ξ，f为焦距，那么ξ与空间频率相应关系为

上式适用于角度较小时(sinθ≈tgθ=ξ/f)。焦平面中央亮点对应的是物平面上总的亮度(称为直流分量)，焦平面上离中央亮点较近(远) 的光强反映物平面上频率较低(高) 的光栅调制度(或可见度)。1934年译尼克在焦平面中央设置一块面积很小的相移板，使直流分量产生π/2位相变化，从而使生物标本中的透明物质不需染色变成明暗图像，因而可研究活的细胞，这种显微镜称为相衬显微镜。为此他在1993年获得诺贝尔奖。在20世纪50年代，通信理论中常用的傅里叶变换被引入光学，60年代激光出现后又提供了相干光源，一种新观点(傅里叶光学)与新技术(光学信息处理) 就此发展起来。

2． 光学空间滤波

显微镜中物镜的有限孔径起了一个高频滤波的作用。它挡住了高频信息，而只让低频信息通过。如果在焦平面上人为插上一些滤波器(吸收板或移相板) 以改变焦平面上的光振幅和相位，就可以根据需要改变频谱获得所需要的像结构，这就叫作空间滤波。最简单的滤波器就是把一些特种形状的光阑插到焦平面上，使一个或几个频率分量能通过，而挡住其他的频率分量，从而使像平面上的图像只包括一种或几种频率分量。对这些现象的观察能使我们对空间傅里叶变换和空间滤波有更明晰的概念。

阿贝成像原理和空间滤波预示了在频谱平面上设置滤波器可以改变图像的结构，这是无法用几何光学来解释的。前述相衬显微镜即是空间滤波的一个成功例子。除了低通滤波、方向滤波及θ调制等较简单的滤波例子，还可以进行特征识别、图像合成、模糊图像复原等较复杂的光学信息处理。因此透镜的傅里叶变换功能的涵义比其成像功能更深刻、更广泛。

图13-2 实验原理图

如图13-2所示，x'y'平面上的点光源S经过x0y0平面上的衍射屏(物体) 调制后，在透镜的前表面得到复振幅分布Ul(x，y)，再经过透镜的变换得到复振幅分布Ul'，光传输距离d Si在光源的像面xiyi上形成物体(衍射屏) 透过率函数的频谱。一般情况下，频谱面上的频谱分布与光源到透镜的距离d S0、物体到透镜的距离d0、透镜的焦距、所用光波的波长都有关系，就是说，频谱面上每一个点所代表的空间频率的大小，需要由这些量共同来决定。经过频谱面后，光在继续传输过程中再进行衍射，在衍射屏(物体) 的像面上形成像。

四、实验内容

1． 共轴光路调节

在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上、下、左、右调节激光管，使激光束能穿过小孔;然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯旋钮，再使激光束能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束均能通过小孔光阑。记录激光束在光屏上的照射点位置。

调平激光管后，激光束直接打在屏P上的位置为O，再加入透镜L后，如激光束正好射在L的光心上，则在屏P上的光斑以O为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高低及左右，直到经过L的光束不改变方向(即仍打在O上) 为止;此时在激光束处再设带有圆孔Q的光屏，从L前后两个表面反射回去的光束回到此Q上，如两个光斑重合并正好以Q为中心，则说明L的光轴正好就在Q、O连线上。否则就要调整L的取向。如光路中有几个透镜，先调离激光器最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜，每次都保持两个反射光斑重合在Q上，透射光斑以O为中心，则光路就一直保持共轴。

2． 阿贝－波特实验

用图13－3所示的实验装置图安排布置实验系统，装置图中序号所对应的装置如表13－1所示。并按下面的步骤和内容进行一维光栅实验。

(1) 用L1和L2组成扩束器，以其出射的平行光束垂直地射在铅直方向的光栅上;在离光栅(物)2m以外放置白屏，前后移动变换透镜，在屏上接收光栅像;移动准直透镜L2的位置，观察频谱面位置的变化及频谱面上光场分布的变化并记录下来，分析这些现象说明什么问题。

(2) 将准直透镜L2移动到产生平行光输出的位置，移动作为衍射屏的光栅，观察频谱面位置的变化及频谱面上光场分布的变化并记录下来，分析这些现象说明什么问题。

(3) 在L3后焦面(频谱面) 处置一可调狭缝光阑，挡住频谱0级以外的光点，观察像屏上是否还有光栅像;调节狭缝宽度，使频谱的0级和1级通过光阑，观察像面上的光栅像;然后撤出光阑，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅像。比较这三种情况下光栅像有何变化。

(4) 光阑只遮挡傅氏面上的1级频谱，观察像面的变化。白屏放在傅氏面上，测量0级至+1、+2级或－1、－2级衍射极大之间的距离d1和d2。按式(13-4)计算±1级和±2级光点的空间频率ν1和ν2:

式中，λ为所用激光的波长，f'3为变换透镜的焦距。

(5) 二维的正交光栅替换一维光栅，用He－Ne激光器发出的一束平行光垂直照射光栅，G是空间频率为每毫米几十条的二维的正交光栅，在实验中作为物。L是焦距为110mm的透镜，移动白屏使正交光栅在白屏上成放大的像。

图13－3 实验装置图

表13-1 实验装置图中的序号说明

图13－4 阿贝成像原理实验光路及实验图像

(6) 调节光栅，使像上条纹分别处于垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面上观察到二维的分立光点阵，这就是正交光栅的夫琅和费衍射(即正交光栅的傅里叶频谱)，而在像平面上则看到正交光栅的放大像，如图13－4(a) 所示。

(7) 如在F面上设小孔光阑，只让一个光点通过，则输出面上仅有一片光亮而无条纹，如图13－4(b) 所示。换句话说，0级相应于直流分量，也可理解为δ函数的傅里叶变换为1。

(8) 换用方向滤波器作空间滤波器放在F面上，狭缝处于竖直方位时，S屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹;当然横条纹也可看作几个竖直方向上点源发出光波的干涉条纹，如图13－4(c)、图13－4(d) 所示。把狭缝转到水平方向观察屏S上条纹取向，并加以解释。

(9) 再将方向滤波器转45°角，如图13－4(e)所示。此时观察到像平面上条纹是怎样的?条纹的宽度有什么变化?

(10) 改变频谱结构，像的结构随之改变。试从二维傅里叶变换说明透镜后焦面上二维点阵的物理意义，并解释以上改变光阑所得出的实验结果。

3． 空间滤波实验

前述实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构，而圆孔可作低通滤波器，滤去图像中的高频成分，只让低频成分通过。

由无线电传真所得到的照片是由许多有规律地排列的像元所组成，如果用放大镜仔细观察，就可看到这些像元的结构，能否去掉这些分立的像元而获得原来的图像呢?由于像元比像要小得多，它具有更高的空间频率，因而这就成为一个高频滤波的问题。下面的实验可以显示这样一种空间滤波的可能性。

(1) 图13－3光路中用网格字替换正交光栅，观察频谱和像。以扩展后的平行激光束照明物体，用透镜L3将此物成像于较远处的屏上，物使用带有网格的网格字(中央透光的“光”字和细网格的叠加)，则在屏P上出现清晰的放大像，能看清字及其网格结构，如图13－5所示。由于网格为周期性的空间函数，它们的频谱是有规律排列的分立的点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱就是连续的。

图13－5 网格字成像放大图

(2) 将一个可变圆孔光阑放在傅氏面上，逐步缩小光阑，直到除了光轴上一个光点以外，其他分立光点均被挡住，此时像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。试从空间滤波的概念上解释上述现象。

(3) 把小圆孔移到中央以外的亮点上，在P屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。

五、注意事项

(1) 激光束亮度极高，严禁用眼睛直视从激光器发出的细激光束，以免损伤眼睛。

(2) 严禁拆卸激光器上的导线夹和激光电源，以免被高压击伤或损坏激光器。

(3) 实验中使用的透镜等光学元件的表面严禁用手触摸，以免损坏光学元件。

(4) 实验时光学元件及支架要轻拿轻放，严禁在不释放磁力阀的情况下在台面上拖动。

六、思考题

(1) 在频谱面上观察到的是光强还是复振幅?

(2) 直接用眼睛或照相机观察或记录，能够区分平行光照明时衍射屏是否位于变换透镜的前焦面吗?

(3) 信息光学中我们学过光学空间滤波时常采用4f系统，它有什么突出优点?我们的实验为什么不采用4f系统的光路?是否可以总结出一些我们实验所选择光路的优点?

(4) 如何从阿贝成像原理来理解显微镜或望远镜的分辨率受限制的原因?能不能用增加放大率的办法来提高其分辨率?