数学的真理性

在人们的心目中，数学是一门具有精确性、抽象性、严格性和应用广泛性的科学. 数学与科学上精确的一切东西是一致的，对它的真理性是不存怀疑的. 19世纪及其以前，就是数学家也是这样认为，数学是无可辩驳的真理的汇集. 之所以认为数学具有真理性，是因为数学有两块最大的基石: ①数学是公理集合论.在一定意义上，全部数学都能够从公理集合论推导出来; ②数学证明的严密性，数学是逻辑上有效的或者必然的命题. 对经典数学来说，如果公理正确，逻辑又没有缺陷，那么得到的结论将是不可否定的. 上述两条，我们在第二章已经谈到过. 但是，我们不知道，集合论是否能给数学以统一性，数学本身的真理性能不能归纳为初等逻辑.

英国数学家、哲学家、数理逻辑家A·N·怀特海认为，人类在数学上的能动性，就是创造聚集物的模式，“而数学就是对模式的研究”. 但是，数学思想是以实体存在为背景对实体所进行的抽象. 何谓实体? 实体就是公认的数学概念. 在怀特海看来，模式是数学概念与抽象的形态. 因此，“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究”. 数学模式是具有客观性的，表现在:

第一，合理的数学模式是一种具有真实背景的抽象物，它具有内容上的客观性和科学抽象的规律性;

第二，数学模式是创造性思维的产物. 它一旦定型，就具有明确的构造，获得了相对独立性，人们因此能客观对其运用和研究.

因为模式的抽象必需通过演绎推理，具有逻辑的合理性; 模式一般有真实背景，有客观的存在性，具有现实意义. 模式一旦获得稳定的关系结构，又获得人们的承认和运用，这就是模式真理性. 三者合起来就是数学的真理性. 然而，美国数学史家、应用数学家M·克来莱因却说: “数学是一门知识体系，但是它却不饱含任何真理.”“尽管没有真理，数学却一直给予了人类征服自然的神奇的力量.”

还有几种观点值得注意:

(1)以罗素为代表的逻辑主义者认为，数学是“逻辑的构造”，所有数学均可逻辑化，因而逻辑真理就是数学真理; 直觉主义者认为，数学是“心智的构造”，数学的真理性只能由“心智”或“充分显然”来判定. 两者说法不同，其共同点是数学真理不必通过实践去检验，而是通过逻辑即理性来检验; 现代形式主义者认为数学是一种没有实际意义的符号系统，不存在所谓的真理性问题. 一个概念，只要定义的方式在逻辑上没有矛盾，就有存在的权利，而无需同物质世界有什么联系，只须考虑“可接受性”即可，企图用无矛盾性和“可接受性”来取代数学的真理性.

(2)法国著名数学家庞加莱提出了“几何真理的约定性和算术真理的先天综合性”的数学真理观. 庞加莱认为，算术最基本的对象是自然数，自然数是精神的产物，是完全超经验的理性分析产物，而算术中的一些基本命题(如加法、乘法的结合律和交换律等)是建立在数学归纳法之上的，数学归纳法既非分析法所能证明，又非经验所能检验. 因此，算术真理属于先天综合性;几何是一种“理想物”，不是经验真理，几何的真理性归根到底是公理的真理性，“这些法令(指公理)是否任意的? 不! 否则它们就不生效了”，“它们原来是一些公约”. 所以，庞加莱把几何真理放在其公理的约定性上.

(3)还有一种条件真理论. 持这种观点者认为，数学本身是一种”假设——演绎”系统. 如果前提(假设)是欧几里得的平行公理，就得出欧几里得几何; 如果前提是罗巴切夫斯基公理和黎曼公理，就分别得出罗氏几何和黎曼几何. 至于前提(公理)是否正确，即是否是真理，数学家无需过问! 条件真理论的局限性是明显的，他们把全部数学都归结为条件式命题，以为只需由假设即演绎作答即可获得真理了，根本无需考虑其前提的真理性. 这显然是行不通的.

如上所述，在数学理论的真理性问题上，意见并不完全一致. 直到20世纪60年代，英国数学教育家拉卡托斯(I.Lakatos 1922—1974)又提出了一种拟经验的真理观. 他的这种观点发端于科学证伪. 数学同自然科学一样，存在着证伪，而证伪存在两种形式: 潜在证伪(某一理论系统内产生矛盾，违背了相容性原则，需要修正)和启发式证伪(某一形式理论系统中一个命题被一非形式系统中相应的命题所否定，则前者就不是真理，也必须作出修正). 两种证伪法都需用一种正确的命题才能实现，即是用一种理论的真理性去检验另一种理论的真理性. 这往往是一个难题，说得轻巧，做起来不容易.

数学真理性的检验与评价确实是一个重大问题. 根据辩证唯物主义思想，审视数学发展史和数学发展的规律，数学作为研究客观事物量与关系的科学，过去和现在都是社会实践和需要推动下发展壮大的. 不论现代数学多么抽象、艰深，归根到底来源于客观世界，也不是人的头脑里所固有的，数学理论在逻辑力量的推动下产生并发展的，因而是客观的，而不是主观的，因此，数学理论不仅具有真理性，而且检验真理性的标准是社会实践.

现代数学中的重要概念和理论真理性的分析是一个非常复杂的问题. 我国徐利治、郑毓信两教授在《略论数学真理及真理性程度》［载《数学与文化》，北京大学出版社，1990年P19～P27］作了较深度的探讨. 他俩根据英国数学家、哲学家、数理逻辑学家A·N·怀特海的《数学与善》，把数学定义为“研究模式的科学”，认为数学思想是以实体存在为背景对实体所进行的抽象的启示，给出一个综合而又定量的评估其真理性程度的方法，提出了数学真理性有三个层次:

第一层次——逻辑合理性. 这是数学界一致同意的，因为数学作为一门理性科学，绝不能接受有矛盾的“理论”，但这一点仅仅是必要条件，而非充分条件. 如果一个数学模式由一组织抽象概念构成，可以把平均抽象度作为数学真理指标的一项.

第二层次——模式的真理性. 任一数学模型，或者从实际问题中直接抽象而来，或者经过经过多次抽象而成，或者出于数学美的考虑，是数学家慎重的公示，绝非随心所欲的杜撰. 模式真理性是指一个数学理论(或概念)模式所达到的形式化高度和逻辑结构的完善化程度，也标志着理论模式不依赖于(独立于)直观经验的程度，故可称之为模式真理度.

第三层次——现实真理性. 指的是模式的量性规律在现实世界中的正确反映程度，在社会实践中得到成功的应用与检验的水平，故也可以称为现实真理度.

上述三个层次中，逻辑合理性是所有模式应有之义，自圆其说必须具备. 因而考察模式真理性主要是第二层次与第三层次.而模式真理性与现实真理性不能截然分开，都是历史范畴. 数学历史表明，昨天的模式真理可能就是今天的现实真理，今天的模式真理也将是明天的现实真理. 但也存在某些纯数学命题，如数论中某些猜想，即使得到解决，本身也可能难以找到现实应用，而这种研究成功，反映了研究者的水平，又带动了数学的发展，又何尝不是价值呢?

徐、郑二位认为，在上述两个层次中，现实真理性是主要的，任何时候都应将它放在首位，这样一来，数学真理性指标就定义为:

真理(x) =平均(抽象度x1，模式真理x2，现实真理x3)

或者简记为 Truth(x) =(x1，x2，x3)，其中x1，取正整数数值，x2可取A、B、C、而x3可取值A，B，C，φ. 于是每一个数学模型x都可用(x1，x2，x3)来量化了.