我们知道，《几何原本》公理体系的陈述有它的不足之处，数学又经过了三次数学危机，特别是第三次危机，促使数学家们去探索数学推理在什么情况下失效. 数学命题在怎样的情况下具有真理性，在怎样的情况下失灵?由于数学从诞生起就走了形式化的道路，每一门学科几乎都是基于公理的一个演绎体系. 在希尔伯特看来，为了检查每个数学证明是否有效、正确，应该努力用客观的标准来代替主观的估价. 这就势必使数学理论进一步形式化，把公理体系变为形式系统. 这样，就可以根据定义和证明结构，也就是根据它们的外形来判断它们是否正确. 希尔伯特在《几何基础》中所表述的公理体系，弥补了《几何原本》的不足，提供了一个完善的几何公理体系. 这个体系仍然包括三个基本元素，把基本概念梳理成三个基本关系(结合、顺序、合同关系)，把公理(公设)从14条扩充到23条，并按结合、顺序、合同、平行、连续顺序排列. 结构情况如下表.
上表为希尔伯特的经典叙述，现在人们已将连续公理列为第Ⅳ组，平行公理列为第Ⅴ组，又将连续公理中的“完备公理”改为“康托公理”. 这样改动后的体系与原来的体系是等价的. 而基本概念是脱离了直观形象的，唯一的要求是它们必需满足体系内诸公理的要求. 希尔伯特把公理化方法推向了形式化阶段，他的公理思想，对保卫经典数学“有成效的概念结构和推理方法”的努力，和用公理法来证明经典数学的无矛盾性的计划，产生了很大的影响.
20世纪30年代(约1935年)，法国一批优秀的青年数学家，怀着闯新路的热情，共同合作研究成立讨论班，逐步形成一个数学学派，后来以布尔巴基(Nocolus Bourbaki)命名. 针对19世纪以来，特别是20世纪数学领域的空前扩大，新学科、新领域大量涌现，数学出现丰富多彩的局面. 他们萌发了统一数学的思想，并从各数学分支的联系中提出了“数学结构”的概念，试图通过结构的分析，找到各分支间的亲缘关系. 他们计划宏伟，雄心勃勃，努力学习，思想开阔，分工合作撰写出版了一大套书，书名为《数学原本》. 他们运用公理化方法，把一些数学分支中最基本和最重要的、作为出发的思想规定分离出来，加以分析比较，形成结构系统，按结构观点重新整理各个数学分支，分析各数学分支之间的结构差异和内在联系. 布尔巴基提出，数学世界的中心，是结构的几个主要类型: 代数结构(群、环、域)，序结构(偏序、全序)，拓扑结构(邻域、连续、极限、连通性、维数)，它们可被称为母结构(或核心结构)、基础结构. 每种结构又有许多分支，而且彼此间有一定的联系(由公理决定). 更进一步，两种或多种结构可以复合成更复杂的结构，每种结构都保持其独立性，但它们之间可通过映射、运算联结在一起. 此外还有多重结构，这种结构很多，如偏序群、全序群、拓扑群、拓扑环、拓扑域、偏序拓扑空间，拓扑向量空间等等.
通过结构分析，数学的各个分支，就在统一数学的框架内，形成一个严整的体系，布尔巴基学派的创立者之一，法国数学家让·迪厄多内(Jean Dieudonne，1906—1992)在《纯粹数学大观:布尔巴基的选择》一书中，把数学主流学科分为A、B、C、D四个等级. A级为当前最活跃的10门学科(即代数拓扑学与微分拓扑学、微分几何学、微分方程、遍历理论、偏微分方程、非交换调和分析、自守形式与模型式、解析几何学、代数几何学、数论)，这些都是数学的最上层建筑. 在它的下面是B级学科. 这些学科比较成熟，它们是同调代数学、李群、抽象群、交换调和分析、冯·诺伊曼代数、数理逻辑、概率论. C级则更为基本，包括范畴与函子、交换代数、算子的谱理论. 以上三级共20个学科，就是布尔巴基学派所认为的数学中的主流学科. 作为它们的基础是D级，有集合论、一般代数学、一般拓扑学、古典分析、拓扑向量空间、积分等6门. 这6个“基础”学科正是布尔巴基在《数学原理》中所整理的内容.
[1] 《爱因斯坦集》第一卷. 商务书馆，1976: 313.
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