智力的交响乐

思想和方法属于认识论范畴. 认识论系统的要素是主体和客体，所谓主体是具有意识的人，是实践活动的当权者，而客体就是认识对象，客体也不仅限于物质，具有语言文字是人类的特质，语言文字把人们的意识固定在物质的可感知的形式上，所以，也就成为主体的特殊的认识对象，这样主体意识的本身，作为认识对象，也获得了客体的属性. 人除了研究社会、自然，也可以把自身作认识对象，即自我意识. 这时，主体自身、主体的意识、心理统统都成为认识对象，即成为客体.

具有意识的人必定有思维. 思维相对于存在而言，指意识精神; 对理性认识而言，就是理性认识的过程，是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，基础是社会各种实践. 认识的真正任务在于经过感觉而到达思维，其表现形式是概念、判断、推理，方法是抽象、归纳、演绎、分析与综合等，思维活动的结果就是思想或观念. 而方法就是认识现实的方式，研究自然现象、社会现象的方式. 通俗一点，方法就是表达、行动、解决问题的门路或程序.

马克思主义认识论认为，人与认识客体的关系是在实践中建立起来的，人不是被动地接受来自客体的信息成为客体的反映者，而是在变革客体的实践活动中的主导者. 随着人类实践的发展，认识客体范围将不断扩大，从微观到宏观，从自然物质现象到社会精神现象都将成为认识论系统的客体. 在认识过程中，客体与主体间的相互作用不但受到客体方面的制约，而且也受到主体方面的限制和制约.

客观世界存在着现象和本质的矛盾，这就决定着我们的认识会有感性认识和理性认识的不同层次，而相应于不同层次会有不同的认识方法. 用什么样的方法去认识世界取决于客观世界的性质、认识主体的发展程度，以及主体和客体相互作用的性质. 客观世界、认识主体以及主体与客体的相互作用是不断发展的，因此，受它们制约的人们，认识世界的方法也是在不断变化的. 当人们已形成对客体的感性认识并进而上升到理性认识之后，认识方法是不是完成了呢? 没有，因为“辩证唯物论的认识运动，如果只到理性认识为止，那么还只说到问题的一半，而且对于马克思主义的哲学说来，还只说到非十分重要的那一半. ”[1]得到了世界的规律性认识——理论，还必须把它再用到改造世界的实践中去，这是认识世界的根本目的，也是检验和发展理论所必需，是整个认识过程的继续，因此，认识方法中还必须包括改造世界的方法.

所谓数学思想，就是人们从事数学的研究活动中，通过抽象、归纳、演绎、分析与综合等思维方法所得到的结果，是数学的菁华，是人类智力的交响乐. 这些结果有概念、定理、公式、模型、结构等多种表现形式，形成一个系统. 在具体研究的过程中，又产生了许多方法. 我们从数学发展史中，就可以看到数学思想、数学方法乃至数学理论是怎样形成和发展的轨迹.

数学的定义，一直是数学哲学的重要问题之一. 这个问题看似简单又难以回答，直到现在，也还流行十余种，都有道理，笔者不一一列举，比较典型的几种如下:

恩格斯概括为: “纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系. ”还说: 数学是“一种研究思想事物(虽然它们是现实的摹写)的抽象的科学”[2]

布尔巴基学派认为，数学是“研究结构的科学”.

丁石孙提出: “数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数量关系和结构关系.”

A·N·怀特海提出，“数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究.”[3]

徐利治说，数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学”. 徐利治等还认为，按照模式观，数学就是应用抽象的量化方法去研究关系结构模式的一门科学，数学模式概念可以作为广义量的范畴，于是提出，“数学是研究广义量(即模式结构形式)的学科”.

上述关于数学的定义(以及其他表述)所涉及的关键词是:量、形式(模式)、结构关系等. 鉴于数学有着抽象、富于逻辑和超时空的特性，因而数学研究的对象可以是客观世界的量和模式、结构及其相互关系. 与此相联系的就是数学思想和数学方法. 上述这些关于数学的定义，就是数学思想而不是数学方法.

数学思想和数学方法有宏观、微观之分. 数学思想有影响整个数学体系的思想. 有一门学科的数学思想，甚至还有解决某一类或某一个问题的思想. 数学方法有适合于整个数学体系的方法，也有某门数学学科的特殊方法，也有解决某一类或某一个问题的方法. 当然，思想与方法之间也有较紧密的联系，把方法理解为通向完美的桥梁，是比较适合的. 据此，本章所论及的数学思想，基本上是从整个数学体系着眼的，如数形转换思想、变换思想、公理化思想、模型化思想、结构思想，等等.

[1] 毛泽东选集(一卷本). 北京: 人民出版社，1964. P280.

[2] 恩格斯. 反杜林论. 北京: 人民出版社，1970年，P35.

[3] 引自《数学与善》A·N·怀特海.1939年13月在美国哈佛大学的讲演.