算术和代数是最基础而又古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系. 算术是代数的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物，是把以数为运算对象扩充到以符号为运算对象的突破. 这种突破，改变了数学的面貌，扩大了数学领域，产生许多意想不到的应用.
数在算术中是十分确定的对象，而且只允许具体的、已知的数字参加运算，而能精准地解决生活与生产实践中大量的问题(如行程问题、工程问题、流水问题、分配盈亏问题等)，在人类社会中有着广泛的应用，但与代数比较起来，局限性十分明显.代数引入了字母符号，扩充了运算对象，适当地改变了运算规则，产生了许多新的概念和问题，能处理数量关系复杂的应用问题，同样保持着精准性.
代数解题法是算术解题法的突破，比如解方程. 解方程的过程是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程. 未知数的引入不仅使应用范围扩大了，也推动了许多新发现. 众所周知，二次方程x2+1=0的求解，导致虚数的发现; 对五次及其以上方程的求解，导致群论的诞生; 对一次方程组的讨论，导致线性代数的建立; 对多项式的研究，产生了代数的一个分支——多项式理论，而型论(齐次多项式)又是其中重要的组成部分. 由于整系数多项式与整数论有着极其相似的性质，又丰富了多项式的各种运算(加、减、乘法，欧几里得除法，最大公因式和最小公倍式、分解因式等). 时至今日，随着计算机的发展，这些算法又发展出许多新算法.
在代数中，向量也可作为运算对象，从而得到一系列运算法则，如向量的数量积、向量积、混合积，等等，而向量运算在解决物理问题中有十分重要的作用. 矩阵理论的建立，不但对解线性方程组带来了极大的方便，而且产生了一个新的数学分支，扩大了数的视野，增加了运算的工具. 用矩阵表达的力学就是现在的量子力学，应用这个理论去解决微观粒子的问题时，得到的结果与实验相符合，促进了原子物理、固体物理和原子核物理等学科的发展，并标志着人们对客观规律的认识从宏观世界深入到了微观世界. 量子力学与狭义相对论结合后逐步建立了量子场论.
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