全概率公式分解法

系统结构函数的分解定理为

Φ（X）=Φ（1i，X）xi+Φ（0i，X）（1-xi）（4-15）

前面已经证明，系统结构函数的数学期望即是系统的可靠度，因而，

Rs=E[Φ（X）]=E[Φ（1i，X）xi+Φ（0i，X）（1-xi）]（4-16）

由于Φ（1i，X）中已经不含xi，Φ（0i，X）中也不含xi，则Φ（1i，X）和xi以及Φ（0i，X）和（1-xi）相互独立。故式（4-16）可以演化为

Rs=P{Φ（1i，X）xi=1}+P{Φ（0i，X）（1-xi）=1}

=P{Φ（1i，X）=1}·P{xi=1}+P{Φ（0i，X）=1}·P{1-xi=1}（4-17）

在式（4-17）中，

P{Φ（1i，X）=1}=Rs（xi=1）（4-18）

P{Φ（0i，X）=1}=Rs（xi=0）（4-19）

P{xi=1}=Ri

则式（4-17）可变为

Rs=Rs（xi=1时）·Ri+Rs（xi=0时）·（1-Ri）（4-20）

式（4-20）即是概率论中的全概率公式。利用这个公式，可以把带有桥的复杂系统化成典型的串并联系统。这种转化方法就称全概率公式分解法。

在式（4-20）中，xi为分解单元，在实际系统中通常是那些一旦其状态固定即可望将原系统化成典型系统的组合的单元。选择分解单元可依据以下原则进行：

（1）任一无向单元均可作为分解单元。

（2）任一有向单元，若其两端点中有一个端点只有流出（或流入），则该单元可作为分解单元。

（3）分解过程中所有无用单元都可去掉。

选择好关键的分解单元能节省分解步骤，即使没有选准关键单元也可以按照上述法则分解，但步骤可能要多一点。

用全概率公式法计算如图4-2所示系统的可靠度时，应选择部件2进行分解。图4-7是图4-2的分解图，图中，（a）x2正常，（b）x2失效。

图4-7 图4-2的分解图

按照该分解图，系统可靠度为

式中：

将上述值及R2代入式（4-21），有

Rs=0.84×0.9+0.3276×0.1=0.78876

计算结果和用状态枚举法的计算结果完全一致。当系统过于复杂时，也可以多次使用全概率公式进行分解，直到分解出来的全是典型系统为止。