状态枚举法

如果每一个部件有两种状态，那么n个部件就构成系统的2n种状态，而系统的这2n种状态又可以归结成为系统失效或系统正常这两种状态。为了区别起见，把系统失效或正常这两种状态称为系统的宏观状态，而将组成系统的n个部件的2n个组合称为系统的微观状态。将这2n个系统微观状态一一列举出来，并考察其各自相对应的系统宏观状态。由于这2n个微观状态是互斥的，将对应于系统宏观状态为“正常”的全部系统微观状态概率加起来，即可得到系统的可靠度。

1）真值表

为了能毫无遗漏地列举出所有的系统微观状态，这项工作可以借助于一张真值表来进行。在真值表中填入部件或系统的状态，部件或系统正常时填入1，部件或系统失效时填0。这样，将对应于系统状态取值为1的所有系统微观状态概率求和，即是系统的可靠度。下面通过例子来对该法加以说明。

例4.1 列出如图4- 2所示系统的真值表，并在R1=R3=0.3，R2=0.9，R4=R5=0.6时，求系统的可靠度。

图4-2 系统可靠性框图

解：由图4-2得相应的真值表（见表4-1）。

表4-1 图4-2的真值表

（续表）

从表4-1中可以看出，系统宏观状态取值为1的微观状态编号为9、12、13、15、18～32。在第9号微观状态中，部件1、4处于正常状态，而2、3、5处于失效状态。此时系统宏观状态为正常，则系统处于该微观状态下的概率为

P9=R1×R4×（1-R2）×（1-R3）×（1-R5）

=0.3×0.6×（1-0.9）×（1-0.3）×（1-0.6）

=0.00504

其他系统状态取值为1的状态概率也可以用这种方法算得。将这些系统状态概率填入表4-1的相应位置，并把它们累加起来，即可得到系统可靠度为

如此算法实在太繁，上例要算19次，而且每次都是五项的连乘积，稍有不慎即可能出错。因而，本法需要进一步化简。化简的方法是合并，合并的规则是在相同位数上只有一个数码不同的二进制数可以合并。

考察000111和00111两个二进制数，它们分别代表A′B′C′DE和A′B′CDE两种系统微观状态，而系统取这两种状态的概率值分别为（1-RA）（1-RB）（1-RC）RDRE和（1-RA）（1-RB）RCRDRE。两个状态概率之和为

（1-RA）（1-RB）（1-RC）RDRE+（1-RA）（1-RB）RCRDRE

=（1-RA）（1-RB）RDRE[（1-RC）+RC]

=（1-RA）（1-RB）RDRE

所代表的状态是A′B′DE，用二进制数可以表为00*11。这说明00011和00111两个只有一个位置上数码不一样的二进制数可以合并为0011，只需将那个数码不同的位置上的数码用*代替即可。被合并过的二进制数后面可加一个“√”号加以区别，以避免重复合并。

将上例中1个系统状态取值为1的微观状态排列出来，（ ）中数字表示真值表中序号：

（9）10010√

（12）01010√

（13）01001√

（15）00101√

（18）11010√

（19）11001√

（20）10110√

（21）10101√

（22）10011√

（23）01110√

（24）01101√

（25）01011√

（26）00111√

（27）11110√

（28）11101√

（29）11011√

（30）10111√

（31）01111√

（32）11111√

排列出来后即可进行合并工作：

（9）+（18）1*010√

（12）+（13）01*10

（13）+（19）*1001√

（15）+（21）*0101

（20）+（27）1*110√

（22）+（29）1*011

（24）+（28）*1101√

（26）+（31）0*111√

（30）+（32）1*111√

按照原法则可进行再一轮合并化简：

（9）+（18）+（20）+（27） 1**10

（12）+（13）+（24）+（28） *1*10

（26）+（31）+（30）+（32） **111

至此无法进一步合并了，可将未加“√”所对应状态之概率求出并求和，即是系统的可靠度：

RS=（1-R1）R2（1-R3）R4R5+（1-R1）R2R4（1-R5）+ （1-R1）R3（1-R4）R5+R1（1-R3）R4R5+

R1R4（1-R5）+R2（1-R4）R5+R3R4R5

=0.78876

从上面合并的实例中可以看出，合并总是依照这样一个规律进行的，即具有m个1的二进制数只能和具有m±1个1的二进制数合并，否则不能保证只有一个位置上的数码不一样。但不管怎样，要靠人眼来寻找只有一个位置上数码不一样的二进制数似乎还是太累了一点，因而，具体的合并工作可以用卡诺图这么一个有力的辅助工具来完成。

2）卡诺图

卡诺图又称真值图，在逻辑代数中，若多项式表达式中每一项均出现Ai或A′i（i=1， 2，…，n），这时的每一项就叫最小项。由这个最小项的定义可以得知，系统的每一个微观状态都可以表现为一个最小项。

由于由两个部件组成的系统一共有4个微观状态，两个逻辑变量的最小项也有4个。如果把一个矩形分成四个小方格，每一个小方格表示一个最小项，就可以得到两个逻辑变量的卡诺图（见图4-3）。每一个小方格中可以填入一个相应的最小项，也可以填入一个表示相应最小项的二进制数码。方格如果不填入最小项或二进制数码，此时的卡诺图叫卡诺框。

图4-3 两个逻辑变量的卡诺图

n个部件的系统具有2n个微观状态，因而n个逻辑变量的最小项有2n一个。一般来说，编制n个逻辑变量的卡诺图时，首先要画一个矩形，并把它分成2n个小方格。如果n为偶数（n=2m），则将矩形的底边和高各置2m个小方格。如果n为奇数（n=2m+1），则将矩形的底边置2m+1个小方格而将矩形的高置2m个小方格。然后，将全部n个逻辑变量相应地分为两组，一组m+1个或m个置于底边处，另一组m个置于高处，并使得每一个变量都在每一个小方格中有所反映，并且每一个小方格对应于一个不同的最小项，这样便得到了一张n个逻辑变量的卡诺图。

为了保证2n个小方格和2n个最小项一一对应，作卡诺图时可运用下列诀窍：将矩形按照上述法则分成2n个小方格后，底或高的小方格数都是可被m个2来除的。以在高处为例，首先将高处小方格一分为二，选择某一逻辑变量，将高的上半部分放这个变量的真值，下半部分放这个变量的非值。然后再考虑安排第二个逻辑变量。安排第二个变量时，首先取该边长度的1/4，然后再把这个长度扩大一倍，把整个高分成三格，并按第一个变量的真、非次序相间地填入第二个变量的真与非。在安排第m个变量时，首先取该边长度的1/2m作一格，然后取2/2m作长度一格一格连续画下去，最后得到长度为1/2m的一格。这样即将该边分成了一系列小格，按照第一个变量的真、非次序依次相间地填入第m个变量的真与非。这样就可以保证卡诺图中每一个小方格对应于一个不同的最小项。

卡诺图具有这么一个重要性质，即相邻两个小方格所代表的最小项仅有一个逻辑变量的取值是不同的，其余均相同。这样，相邻两个小方格所代表的系统微观状态就具备了合并的条件。在实际合并过程中，如果由若干个小方格组成的小矩形中所对应的所有变量都只出现真或非或是真、非数量相等，则该小矩形可以当成一个小方格来处理。在状态概率计算时，真、非数量相等的变量取值以“*”代替，不参加计算。取真的变量取值为“1”，取非的变量取值为“0”。这样，卡诺图把烦琐的合并工作变成了简单的数格子工作。

在实际应用卡诺图进行合并时，每一个小方格中既不是填入相应的最小项，也不是填入二进制数码，而是填入当系统处于小方格所代表的系统微观状态时系统的宏观状态取值。为了使卡诺图更简单明了地反映问题，通常系统状态取值为0时不填入图中，而只填使系统状态取值为1的那些小方格。

例4.2 用卡诺图法化简例4.1，并求系统可靠度。

解：图4-3系统的卡诺框图如图4-4所示。

图4-4 图4-3系统的卡诺框图

由例4.1可知，使系统宏观状态取值为1的系统微观状态一共有19个。在图4- 4的卡诺框中找出相对应的小方格，并在这些小方格中填上1，即可得到如图4-5所示的卡诺图。

图4-5 图4-3系统的卡诺图

得到了卡诺图，即可对系统状态进行合并，19个状态可以合并成如图4-6所示的五块。

图4-6 状态合并卡诺图

用二进制数表示，如图4-6所示的五块分别可以表为：*10*1、*1*10、**1*1、10011、10*10。则系统的可靠度为

RS=R2（1-R3）R5+R2R4（1-R5）+R3R5+R1（1-R2）（1-R3）R4R5+ R1（1-R2）R4（1-R5）

=0.78876

看来，以卡诺图为工具来进行状态合并要方便得多。注意，卡诺图合并的结果不是唯一的，但计算出的概率值应该是唯一的。