电子衍射几何分析公式及相机常数

图18-6是普通电子衍射仪装置示意图。电子枪发射电子，经聚光镜会聚后照射到样品上。若样品内某（hkl）晶面满足布拉格条件，则在与入射束呈2θ角方向上产生衍射。透射束（零级衍射）和衍射束分别与离开样品距离为L的照相底片相交于O'和P'点。O'称为衍射花样的中心斑点或称透射斑点，用000表示；P'点则以产生该衍射的晶面指数来命名，称为hkl衍射斑点。衍射斑点与中心斑点之间的距离用R表示。由图可得

R／L=tan2θ

对于高能电子，2θ很小，近似有

tan2θ≈2sinθ

代入布拉格公式得

λ／d=2sinθ=R／L

Rd=λL

（18-4）

这就是电子衍射几何分析公式。当加速电压一定时，电子波长λ就是恒定值，这时相机长度L与电子波长λ的乘积为常数：

K=λL（18-5）

K称为电子衍射相机常数。若已知相机常数K，即可从花样上斑点（或环）的R值计算出衍射晶面组（或晶面族）的d值：

d=λL／R=K／R（18-6）

图18-6 普通电子衍射装置示意

目前，λ，d以纳米（nm）为单位，但有些书还保留了用埃（Å，1Å=0.1nm）为单位的习惯；L，R以mm为单位，所以K的单位应是毫米·纳米（mm·nm）。该式是衍射花样指数化的基础。由于K是常数，所以R反比于d。由此可见，在电子衍射中，晶体参数d与衍射斑点距离R之间的关系比X射线衍射中相应的关系简单。

利用爱瓦尔德球构图推导电子衍射几何分析公式可进一步说明电子衍射花样的物理意义。参看图18-6可知，因为2θ很小，发生衍射的晶面（hkl）近似平行于入射束方向，或者说其倒易矢量g（∥Nhkl）近似垂直于入射波矢量k，而底片上斑点P'的坐标矢量R=O'P'也垂直于入射束方向，于是近似有

ΔOO*G～ΔOO'P'

所以

R／g=L／k=λL

R=（λL）g=Kg

（18-7）

因为g=1／d，式（18-7）就是倒易空间中的电子衍射几何分析公式。考虑到R近似平行于g，故上式可进一步写成矢量表达式：

R=（λL）g=Kg

这就是说，衍射斑点R矢量就是产生这一斑点晶面组的倒易矢量g的比例放大。于是，对单晶样品而言，衍射花样就是落在爱瓦尔德球球面上所有倒易阵点中满足衍射条件的那些倒易阵点所构成图形的放大像。所以，相机常数K有时也被认为是电子衍射花样的“放大倍率”。如果仅就花样的几何性质而言，它与满足衍射条件的倒易阵点图形完全一致。单晶花样中的斑点可以直接被看成是相应衍射晶面的倒易阵点，各个斑点的R矢量也就是相应的倒易矢量g。因此，我们可得到：

两个衍射斑点坐标矢量R之间的夹角就等于产生衍射的两个晶面之间的夹角。

20世纪50年代以来，电子显微镜发展很快，电子衍射仪已逐渐被电子显微镜所代替。在透射电子显微镜中除了有双聚光镜的照明系统外，还有由三个以上透镜组成的成像系统。如果待观察的试样是晶体，我们不但可以获得结构信息的衍射花样，还可以获得形貌和亚结构信息的电子显微像，借助选区电子衍射可使晶体的电子显微形貌像和其结构在微米数量级内—一对应.这种选区电子衍射方法在物相分析和金属薄膜的衍衬分析中用途很广。

在透射电子显微镜中是如何得到电子衍射花样的呢？利用薄透镜的性质，可从几何上来说明在物镜背焦面处形成第一幅衍射花样的过程，参看图18-7。

（1）未被样品散射的透射束平行于主轴，通过物镜后聚焦在主轴上的一点，形成000中心斑点。

（2）被样品中某（hkl）晶面衍射后的衍射束平行于某一副轴，通过物镜后将聚焦于该副轴与背焦平面的交点上，形成hkl衍射斑点。

图18-7 透射电子显微镜中衍射花样的形成方式

（a）第一幅衍射花样的形成和选区电子衍射原理；（b）三透镜衍射方式原理图（不考虑磁转角）

由于通过透镜中心的光线不发生折射，故有

r=f0tan2θ

式中，f0是物镜的焦距，r是hkl斑点至000斑点的距离。代入布拉格公式可得

rd=f0λ

由于底片上（或荧光屏上）记录到的衍射花样是物镜背焦面上第一幅花样的放大像。若中间镜与投影镜的放大倍率分别为Mi和Mp，则底片上相应衍射斑点与中心斑点的距离R应为

R=r MiMp

因为

（R／MiMp）d=λf0

则

Rd=λf0MiMp

如果我们定义L'=f0MiMp为“有效相机长度”，则有

Rd=λL'=K'（18-8）

其中，K'=λL'称为“有效相机常数”。这样，透射电子显微镜中得到的电子衍射几何分析公式仍然与式（18-4）相一致，但是式中L'并不直接对应于样品至照相底片的实际距离。只需记住这一点，我们习惯上不加区别地使用L和L'这两个符号，并用K代替K'。

因为f0、Mi和Mp分别取决于物镜、中间镜和投影镜的激磁电流，因而有效相机常数K=λL也将随之变化。为此，我们必须设法使三个透镜的电流固定，在这一条件下来标定仪器的相机常数，使R和1／d之间保持确定的比例关系。

鉴于物镜、中间镜、投影镜磁场的作用，使电子束除了径向折射以外，还使其绕光轴转动，因此显微图像和衍射花样存在一个相对磁转角φ（φ=φi-φd，φi是成像时产生的磁转角， φd是衍射时产生的磁转角）。其中，φd使斑点R矢量与衍射晶面的法线方向（即g方向）之间不再保持近似平行关系，因此Rhkl方向应加上或减去φd。经磁转角校正后的方向才平行于ghkl。但是两个斑点坐标矢量R之间的夹角等于两个衍射晶面之间的夹角关系仍然成立。目前，先进的透射电子显微镜都有自动电子补偿器，使显微图像和衍射花样不存在相对磁转角，这给在显微图像上显示出晶体学方向提供了便利。

比较成像光路和衍射光路可清楚地看到，成像方式与衍射方式不同仅在于中间镜所处的状态不同而已：中间镜的物平面与物镜的像平面重合即为成像方式，而与物镜的背焦面重合即为衍射方式。由前述的三透镜变倍原理可知，只要改变中间镜的电流就可使中间镜的物平面上下移动。显然，由成像方式转变为衍射方式，只要降低中间镜电流，使中间镜物平面由物镜像平面处上升到物镜背焦面处。反之，由衍射方式转变为成像方式，只要提高中间镜电流，使其物平面由物镜背焦面下降到物镜像平面处。