评蒂莫西·高尔斯的“数学是一种发现还是一种发明”

吉迪恩·罗森

从某种意义上说，蒂莫西·高尔斯与其说是杰出的数学家，不如说是具有20世纪50年代风格的大众语言哲学家。他在本书的首篇文章——“数学是一种发现还是一种发明？”中，非常仔细地道出了数学家（以及Google数据库中不同程度被提及的芸芸众生）在涉及数学各领域研究时是如何实际运用这些词汇的。高尔斯的结论（大致）是，对于数学家在他从事的工作中难有选择余地的情形，我们倾向于用“发现”来看待这一研究过程；而当手头工作有许多方法可供选择，数学家对他所进行的研究有一定的控制力的时候，我们倾向于用“发明”或是“构建”来形容其研究过程。

高尔斯坚持认为，让他感兴趣的这种区别与一个人在数学形而上学的问题上持什么样的观点无关。

你可以接受我的分析，相信问题中的对象是一种“真实的存在”；也可以将这一陈述看成其存在如同游戏中图标在纸面上移动，或是把对象看作通俗小说。事实上，数学的某些部分是不可预料的，而另一些则不同；有些解是唯一的，另一些则有多个解；某些证明是显而易见的，而有些则需投入大量的精力。所有这些都取决于我们如何描述数学问题的产生过程，都完全独立于一个人的哲学立场。

我感到这说的是没错，但它也提出了一个高尔斯没有解决的问题。高尔斯描述了数学家们倾向于说所做出的成绩可归于发现或发明的条件，以及某些成就可能被当作发现而另一些被当作会发明的条件。但我们应该如何认真看待这些语言上和心理上的观察呢？正如哲学家们常常指出的那样，营造一个我们乐于说这说那的氛围是一回事儿，而要确定一种能正确地说这说那的条件则是另一回事儿。因此，我们假定数学家们对一些研究成果划归（譬如说）为发明达成一致，但这是否就意味着，甚至暗示着，这项成果事实上就是发明，还是它不过是一种有可能是错的但被太当回事儿的说话方式？

我相信，这个问题在不同的情况下有不同的答案。正如高尔斯指出的，我们不但谈论很多东西的发明/发现：理论、定理、证明和证明技术等，而且也谈论各种各样的数学对象（数、数系）。我们会说康托尔发明了超限数理论，但我们不太可能说康托尔发明了超限数。我们先重点讨论一下发明/构建这类修辞在数学对象上的应用。在本文里，高尔斯讨论了大魔群的情形。大魔群是一种元素众多的有限群，其存在性和唯一性分别于1982年和1990年被证明。语言学证据表明，数学家们更倾向于说大魔群的“构造”而不是大魔群的“发现”，高尔斯解释了这一点。对大魔群的存在性的证明不是唯一的，我们可以有很多例子来确立其存在性定理，即具有相关性质的群是存在的，尽管（正如所发生的那样）这些例子彼此间同构。但是我们有什么理由要认真对待这种构建的意象呢？在我看来，这是这个短语按字面意义运用时所表现出的一种不可通融的性质：如果一样东西是被发明或构建出来的，那么在它被发明之前，它并不存在；如果它没有被发明，它也不会存在。相反，如果一样东西是被发现的，那么它在被发现之前必须存在（或至少独立于发现的具体细节）。但是，我觉得高尔斯会同意我这样说，在大魔群尚不存在的1982年之前，谈论大魔群的性质就显得很奇怪。如果是这么回事，那么格里斯最初问自己的问题，“大魔群是否存在？”答案应该是显而易见的：“还不存在，但也许有一天会存在。”但事实上没有人会这样来讨论数学对象。因此我倾向于认为，即使高尔斯关于我们在什么情形下倾向于采用发明或构建等词汇来指称数学对象的条件是正确的，在这方面完全从字面上理解这种语言仍将是一个错误。

另一方面，当我们谈论数学理论——尤其是像微积分这样的大的理论框架时，情况则完全不同。如果有人问（譬如说）在1650年之前是否存在一种强有力的代数方法用于计算曲线围成的面积或曲线在某个给定点的切线，或者说是否存在一种深刻的、能够证实这些技术并显示它们之间关系的理论，答案可能是：“还没有，但说不定哪天会有。”此外，如果我们这么说应该也很自然：如果没有人写下这样的理论，那么微积分就不会存在。因此，这种理论似乎与小说、诗歌和哲学论文一样，属于相同的本体论范畴。这样的事情都是抽象的作品：当某个人第一次给予具体的表现方式后，这些抽象的实体才得以存在。在这种情况下，我看不出有什么理由不认真地将发明这一修辞视为对基础形而上学的一种清楚的、字面意义上的解释。

高尔斯不主张这种解释，但我不知道他是否会同意我的如下假设：除非我们准备说，本项发明在其被发明之前不存在，否则我们就应该将数学中的发明（构建、创造等）视为隐喻。我们可以接受高尔斯对条件的解释，在这些条件下，我们倾向于将比喻看作对那些清楚的、形而上的中性真理的解释。