牛顿极限是隐藏在爱因斯坦广义相对论中的一个错误

根据爱因斯坦引力几何化的思想，研究星球的引力问题，可以转化成研究星球周围的时空结构。在广义相对论里，一个星球周围的时空被看成黎曼时空。在强引力区域，即在星球附近，黎曼时空是弯曲的。随着离开星球距离的增加，引力逐渐减弱，弯曲的时空会逐渐趋于平直。因此，可以认为，在弱引力情况下，即在无穷远处，弯曲的黎曼时空最终变成了平直的时空。牛顿极限的含义是：在无穷远处，这个平直的时空可以看成牛顿时空。

由此可见，在广义相对论中使用牛顿极限就相当于在求解相对论引力问题时，在无穷远处给出一个牛顿力学的边界条件，用这样的方法求出的结果显然不是一个准确的相对论结果，而只能是一个半相对论、半牛顿力学的结果。

虽然在强引力情况下，黎曼时空是弯曲的，随着引力逐渐减弱，弯曲的时空会逐渐趋于平直，在弱引力极限情况下，弯曲的黎曼时空最终变成了平直的时空。但这个平直的时空绝不是牛顿时空，这是因为，在黎曼时空中时间与空间是相互关联的，黎曼时空的这一性质，不会随引力的变弱而发生改变。即在弱引力情况下，弯曲的时空可以变成平直的时空，但时间和空间仍然是相互关联的。因此，从理论上严格地讲，黎曼时空的弱引力极限应该是闵可夫斯基时空，而不是牛顿时空。上述问题如果我们用数学公式来讨论，结果会变得更加清晰。

我们知道，对于牛顿时空（即欧几里得时空）来说，三维空间中两点之间的距离可写为闵可夫斯基把时间看作第四维空间，构建出一个四维时空，在闵可夫斯基时空，两点之间的距离用笛卡尔坐标表示，有

ds2＝dx2＋dy2＋dz2

如果用球坐标表示，上式还可写为

ds2＝c2dt′2－（dx′2＋dy′2＋dz′2）

如果用球坐标表示，上式可写为

在广义相对论中，静态球对称引力场的度规公式可写为

其中：

现在，我们对式（14－10）取极限。如果牛顿极限是合理的，那么，所得结果应该是式（14－8）；如何闵可夫斯基极限是合理的，所得结果就应该是式（14－9）。

我们知道，在弱场情况下，即在无穷远处当r→∞时，黎曼时空将变成平直的时空，即式（14－11）中的h00＝0，于是有g00＝－1，把这个结果代入式（14－10），便可得到闵可夫斯基时空中的公式（14－9），而不是牛顿时空的公式（14－8）。

这个结果表明，在广义相对论中，处理弱引力问题的正确方法是闵可夫斯基极限，而不是牛顿极限。牛顿极限是广义相对论中的一个错误，这个错误带来的后果是把牛顿力学的一个错误结果——拉普拉斯黑洞带到了广义相对论。

另外，这个结果再次表明，狭义相对论中应该有一个引力理论，没有这个理论，就不能建立正确的广义相对论，爱因斯坦的广义相对论实际上是一个半相对论、半牛顿力学的近似理论，关于这个问题，本书后面还会讨论。