不存在同一性

5.2　不存在同一性

彭加勒，像布劳威尔与魏尔一样，坚持认为数学推理是不同于形式逻辑推理的观点。对挖掘“后现代”联系的目的最有趣的一点是，彭加勒关注对象的认同如何被赋予，关注连续的概念是如何出现的。但让我们首先看一看我们如何能够把彭加勒置于科学的浪漫主义者的批评的同情者位置上。

这可以从彭加勒反对罗素与弗雷格对数学的逻辑化处理这一点上清楚地看出。如当罗素1901年在弗雷格的系统中发现了一个悖论时，彭加勒高兴地说道：“数理逻辑（logis‐tique）最终已经证明了它自身并不是完全贫瘠的，至少它产生出一个矛盾。”⁽⁹⁾这里，我们能够看到彭加勒部分反对的是：数学不可能等同于逻辑，不像逻辑，它并不是贫瘠的。在这种意义上的数学理解具有创造性。

罗素与弗雷格坚持数学可以化归为逻辑推理，这种逻辑主义的观点认为数学是脱离其人类的实践者，人们只需要在逻辑上分析数学文本（“考察”两个命题，其目的是表明一个命题能够推导出另一个命题），就可以推出其意义。根据这种观点，即使是最平凡的逻辑推理也被认为是具有创造性的（如导致新知识，“创造”），只要它们能够允许我们产生出某些在形式上不同于前提的东西。

彭加勒对此种观点持强烈的反对态度。彭加勒说：逻辑推理者对数学的把握就像瞎子摸象；逻辑推理与数学之间的差异就像那些知道语法规则的作者与那些说故事的人之间的区别；把数学化归于逻辑就像把棋子化归为棋子在棋盘上移动时的规则⁽¹⁰⁾。数学理解并不是那些完全能够被语法规则所能够把握的东西：总是存在着某些无法确定的主观因素，某种创造性的直觉活动。

从这种意义上说，彭加勒能够被置于广泛理解的“欧洲哲学”框架中，他对数学创造的描述包含着一种和谐和优美因素，一种“想象”的隐喻性超结构的美学意义，这种“想象”表现在创造性推理过程中。在某一方面，他认为“形式”的推理过程不能够完全与感情的反应相脱离，这显然是当代神经科学的有趣课题。如美国神经科学家丹马西奥（Antonio Damasio）在其1994年的著作《笛卡尔的错误：感情、理性与人类的大脑》（Descartes’Error：Emotion，Reason and the Human Brain）中就简短讨论过彭加勒，注意到他的研究表明了在感情与思想推理之间存在内在联系的思想⁽¹¹⁾。

尽管彭加勒对科学发明过程进行了浪漫主义的描述，但他从物理学与数学的角度对科学作出了贡献，这种影响甚至持继到他逝世100年后的今天。他是我们今天称之为混沌理论的开拓者；他对绝对时间与同时性概念进行了批评；他的非欧几何模式，参与了爱因斯坦相对论的工作；他一直被视为首次提出了光速是物理学理论的一种有意义的极限。人们甚至称彭加勒是20世纪最有影响的两位数学家之一。然而，他对后来称之一种时髦的数学理想化趋势的反对遇到了激烈的批评。

让我们看一看彭加勒批评的另一部分，在其中我们能够发现某些早期的“后现代”方法的萌芽。最基本的问题是连续性与同一性（identity）问题。连续性显示出某些在逻辑上被误导的东西。彭加勒更进一步说同一性概念也是如此。他这样做的目的在于表明逻辑是数学的唯一基础的这种说法是站不住脚的，支持他认为连续性与同一性是受直觉刺激而产生的东西的思想。

彭加勒谈到了“在空间中对象的连续位移群的直觉”。群的技术性概念在这里并不是重要的，因此能够被安全地忽视掉。在当前文本中关键的东西是彭加勒认为同一性的概念并不是直接，而是“否定性地”解释为一个不变量，解释为一种对所有可能的变换保持不变的量（就这种方法的内容而言，彭加勒并不是唯一持有这种看法的人。如德国数学家克莱因在1872年就提出考虑几何学为在某种变换群下的一种不变量的思想）。

这是彭加勒在《论几何的基础》（On the foundations of geometry）（1998）一文中所说的：

我们称之为几何学只不过是某种连续群的形式化性质的研究……这种连续群的概念先于所有的经验而存在于我们的心灵之中；但并不比其他许多的连续群的概念更不科学；如相对于巴切夫斯基的几何学而言。因此，存在着几种几何学的可能性，这就引起了在这些几何学中如何进行选择的问题。在我们心智构造的连续数学群中，我们选择那些至少与物理连续统相类似的群，这种物理连续统的经验产生了作为位移群的知识。因此，我们的选择并不是由经验强加的，而只是由经验所引导的。但选择保持着自由；我们选择这种几何，不是因为它更为真实，而是因为它更为方便⁽¹²⁾。

或许是由于这一引言中的最后一句，彭加勒时常被从头视为“约定主义者”（conventionalist），也就是说认为所有的科学是建立在根据简单或实践的价值来选择的约定。

我认为彭加勒的思想在1891年的一篇文章中显示得更为深刻。他提到欧氏公理是具有明显缺陷的定义。在接受这些公理之前，我们默认地假定了我们所谈及的几何是固体的几何学。如，如果两个图形重合，欧氏几何就称这两个图形相等，这指的是什么？彭加勒观察到为了重合它们，其中一个图形不得不进行移位以使两个图形完全重合。他接着说：“但它如何必须被移位？如果我们问这一问题，毫无疑问，我们必须被告之，在位移过程中，它必然不会发生变形，这被认为是一个不变固体的位移。”⁽¹³⁾

隐藏在这一假设后的是：“对象”必须是不变体。彭加勒概括出公理提供给我们的是一个对象的有缺陷的定义，只不过赋予我们什么都没有定义的恶性循环。他写道：“这样的公理，对生活在一个流体世界中的存在物来说，是没有任何意义的。”⁽¹⁴⁾因此，几何对象的同一性的概念，逻辑的形式主义认为是理所当然的东西，是在一个形式化世界中被赋予的，它是预设。

让我们暂时停顿一下，加入某些能够允许我们把彭加勒的思想与“后现代主义者”的思想进行比较的评论。

首先，在彭加勒的推理思想与维特根斯坦对一个事物与自身同一的思想的批评之间存在着某种家族相似。彭加勒注意到同一性被认为是在位移过程中保持不变的性质。这看来导致了单一对象的同一性的问题。因此可以说，为了使它自身叠合，它不得不与自己相脱离。

沿着同样的线索，在《哲学研究》中，维特根斯坦在第216段上说：“一物同它自身等同——再没有更好的例子来说明一个无用的命题了，但这个命题仍然同想象力的某种把戏有关系。这就像是我们在想象中把一种东西放入它自身的形状，并且发现它是合适的。”两个论证之间的差异只是意识上的。维特根斯坦对“自我同一性的解构”，是建立在有问题的命题是无用的这样的实用主义观察基础之上。

其次，我想引起读者注意，彭加勒的策略至少在某种程度上涉及了海德格尔的“解释学”思想。海德格尔的任务在于揭示出未说出的东西，在其研究对象中隐藏的、被忽略了的预设前提，揭示出在每一个推理行动之前出现了什么，推理所赖以生存的存在经验。（换言之，即这种通过“存在的澄明”而被传递给我们的东西）⁽¹⁵⁾。

海德格尔的学生伽达默尔（Hans Georg Gadamer）并不是后现代的理论家，但偶尔也表现出“欧洲大陆的反理性主义”的趋向。在伽达默尔的术语中，这能够被翻译为揭示出某种传统的历史“偏见”。这些偏见，一种在历史上类似于胡塞尔的生活世界的直觉的核心内容，是一种传统的构成，容易被视为理所当然的。它们形成了一组假定与信念，这组假定与信念并不是推理自身的一部分，而是隐藏的所有推理实践的前提，是推理的可能性未被阐明的条件。用彭加勒的话来说，这是一个人们必须要重视的简单前提，因为它们最容易被人们忽视。对科学来说，这些“隐藏着”的几何偏见的确是有趣的。

如，在数学物理学中，标准的推理之一就是问什么是作者称之为的几何前提：“什么样的思想线索能够被想象从更为初始的考虑中导致四维（或导致任何维度）。”⁽¹⁶⁾这很可能是胡塞尔、魏尔与彭加勒甚至海德格尔与布劳威尔都感兴趣的问题。

彭加勒对几何“偏见”的发现可以展现如下：几何对象的同一性并不是由公理所强加的逻辑结构所赋予的。它只是一种默会的前提；它是无法言说的“推理的前提”，先于逻辑而存在。如果我们视几何学为某些规则所控制的形式结构，那么我们并没有为我们正在研究的“对象”具有一种永恒的性质或同一性的假设提供了逻辑辩护。这些公理并不是充分的，因为它们在控制对象的自我同一性的信念中已经具有“偏见”。因此，首先，存在着偏见与“意志”、“表征”或“解释”等可能的潜意识，只有在这样的前提下，逻辑才可能开始应用。

尼采提出了更为精彩的思想：“事实上，逻辑（如几何与算术）只能够很好地把握我们已经创造出的所谓实在。”更进一步地比较，考虑海德格尔的文章《近代科学、形而上学与数学》，在其中海德格尔写道：“数学的纲领（回想这一术语表明知识的某种先决条件，一个‘我们总是在不停地移动’的空间，但其自身是不能够被充分形式化）首先打开了一个事物展现其自身的领域。”接着他说：“这一纲领一旦确定，事物方能就位。”⁽¹⁷⁾

看来，我们是带有背景中的数学偏见进行活动的。否则，事物都不能展现自身。这些偏见能够被“主题化”（thematized），但它们不能够在逻辑上得到充分的辩护或形式化。

彭加勒坚持认为在一个对象在某种变换群的条件下的不变性，在概念上不停地被重新确立的意义上来说，对象的同一性只能通过直觉被连续地激发。因此，对象的同一性被连续地激发为假设性判断。它是相关于连续性的构造，在变换下被“限制”为一个不变量。数学连续统的观念，彭加勒在1894年一篇文章中写道：“完全是被心智所创造，但这是提供这种机会的实验。”⁽¹⁸⁾

让我们返回彭加勒对同一性的评论，揭示它们如下：一个对象的同一性的概念依赖于它是有差异的可能性。这一循环是否是一个历史中的“真实”循环，依赖于它是否被赋予了一种变化的机会（时间流、“历史”）。一个类似的推论是：同一性只有通过超越历史的绝对确定性来确立。因此，同一性的概念充其量是被直觉激发，而不是具有根据。

我已经注意到这种反思，在一种具有诗意的形式中，看来后现代理论的出发点：只要我们保持在历史的限制中，差异总是首先与同一性相关；同一性“并不展现自己”，因为它是通过在概念上先于它的那种差异来确立的；等等。（这些看法后来被德里达的某种“追随者”毫无批判地接受，这些追随者试图把自己变为虚无的想象偶像）

还有，在布劳威尔与魏尔的案例中，这种类型论证的后现代观点的思想背景与彭加勒的并不同，虽然技术上并不是完全不同的。当直觉主义的数学家利用时间与差异来表明形式的（语言的与逻辑的）结构在解释连续性与对象的同一性问题上的不充分时（因而表明了直觉的必然性或个体的超逻辑的成分存在），部分后现代理论只是接受了消解进入同一性和连续性迷雾的“超常”结果。在后面，我将回到这些当代的观点上。现在我们还是讨论彭加勒。

不像布劳威尔的个体主义与胡塞尔的反历史的原初直觉，对彭加勒来说，空间对象的同一性并不完全是个体的战利品。它是我们有着连续变换群的直觉的“人类的战利品”。对彭加勒来说，直觉应归于身体，就像归咎于心灵一样。类似地，柏格森提出了“本能”，胡塞尔提出了在生活世界游动的“生活体”（living body），而20世纪法国哲学家庞蒂（Maurice MerieauPonty）相信世界的身体知识（body’s knowledge）比智力的知识更为长久。彭加勒明确地把这种前智力知识表现在进化的语境中，因此，就像海德格尔一样，把它置于历史之中。

彭加勒说，当我们研究几何学时，我们是在研究显现在我们面前的（我们的）固体的知识：“实际上，空间是无定型的，一种松弛的形式，没有刚性，能够适应任何事物，它没有自身的性质。几何化就是研究我们的工具，即固体的属性。”⁽¹⁹⁾

让我们考虑彭加勒提出的另一个问题：他考虑得更多的是循环推理，以待决之问题为论据的推理，当然这不仅是在几何学中。我们已经看到了彭加勒在这一问题上某些有趣的来源。彭加勒注意到几何对象是以一种循环方式被定义的。我们用公理表明这些对象“是”什么，然而，我们在这些公理中又预设了隐藏在同一性概念中的这些对象。

但人们也可能争辩说一个对象的同一性并不必“涉及”对象自身。或许，对象的同一性是通过它们与其他不同对象的关系而得到承认。在这种情形中，人们可能不得不放弃自我同一的绝对的首要性，但同一性至少能够在结构上从“差异”中推出，也就是说，从某种具有完善规则的符号系统，如数学符号系统中，从一事物同其他事物的关系中推出。这样的观点通常联系着瑞士语言学家索绪尔（Ferdinand de Saussure）。

在其他相关的考虑中，这样的问题可能导致了彭加勒提出“非直谓定义”的问题，即对象在总体的术语中定义而且又属于这一总体，这样，强加在自然数的任意子集的总体的假说就成为显然的了。如，一个非直谓定义是通过说1是表现为1＋2＝3、1＋3＝4、1＋4＝5……来定义的这一正整数。这样的定义的“问题”在于：我所定义的东西的内容是依赖于它所属于其中的整体的内容。这引起了某些反对的声音，至少在处理那些具有无边界的许多元素的整体时，而这种整体是数学经常碰到的。我不知道整数的整体。如果我的定义1包含有所有的整数，我不得不诚实地说我不知道。

更为糟糕的，我所知的1是什么——如，在我已经看到100万个数的阶段上——是易变的。当我数完200万个正整数时，纯粹逻辑并不能够保证我对1的理解在未来不会变化。这一问题对于在某种“生成意义”上的结构特别敏感，如能够随时间变化而产生出新元素的某种语言的生成语法结构。那么非直谓定义的结构单位的同一性可能会由于新元素的介入而重新调整，这不能够先验地保证这种操作能够保留它们先前的同一性。

另一个提醒我的例子是钱的价值。如果国家开始印刷超越常规的钱，货币单位跌价比一颗流星下降还要快。货币所具有的价值并不是从其被印刷的纸张中得出，而是从它与其他货物单位的关系中得出。很少有人知道目前流通的货币总量，几乎我们所有的人都容易假定这种总量是保持在控制之中。然而，有些国家就有不愉快的经历，其非直谓定义的货币单位已经超越了一种仅仅的理论可能性。

作为这个例子的另一个情形，想象一个世界，在其中所有的事物或几乎所有的事物被完全重新制造或非直谓定义。在理论上，这一地方可能充满着通货膨胀现象。诸如此类的“内部爆炸”可能会获得一种未被预料到的反应。模拟“实在”的无止境的重新制造可能会把实在贬低到这样的程度：诸如“虚似是真实的”这样的神秘原则可能会成为一个公理⁽²⁰⁾。

在这里没有什么是必然的，但它看来是这类可能发生的事件的非直谓定义的一般特征。以这种方式定义的对象的同一性并不是由其逻辑性来保证其稳定性。它们的同一性并不是显现“在”它们之中，而是由它们与其他事物的关系来保证的。因此，把新因素引入这一结构很可能会导致一种差异。

我认为那些具有某种同一性的经验事实，那种我知道它们具有某种连续性的经验事实，在逻辑上是不能够被演绎出来的。这里有效的问题是，正如在记忆里我的信仰中，是一种归纳原则，而不是演绎原则⁽²¹⁾。

归纳原则，像连续性概念与几何对象的同一性一样，对彭加勒来说，是人类思维的最基本的特征，不能够被化归为纯粹的逻辑。没有这样一种原则，事物会以一种无法控制的杂乱的方式扩散。

因此，我们再次面临一个“开放对象”的概念，也只有在这时，这种可能性不是把其自身体现在神秘的连续统，而是在作为算术或一种“生成语法”的间断结构之中。如果这种结构被要求提供其单位自身的同一性，这些单位的同一性可能就会终止开放、终止其意义的不稳定和“易变”性。（类似的论证，被应用到欧洲大陆结构主义的形式主义的极端，导致可能称为德里达的基本理论的结果，详见第十章）

彭加勒在“意义的可变性”问题上的观点被美国哲学家哥尔德法伯（Warren Goldfarb）概括如下：

“对彭加勒来说，可定义性没有形式上的分析。没有先验的限制能够被置于对象之上，即使这些对象总有一天可能会服从于我们推理的……一个普遍的定理，在这一范围内，并不能控制所有对象，无论这样对象是否是想象，而只是断言定理的每一个特殊的情形（数学家或几代数学家考虑只会考虑每一个用有限个语词来定义的情形）……不变性并不是源于一开始就显现出来的逻辑结构。”⁽²²⁾

数学“文本”并不是有关任何确定性事物的。准确地说，由于这种不变性的存在，数学的意义总是能够被个别数学家或后继的数学家再重新建构。作为一种有趣的比较，让我们考虑索绪尔（一位我将在后来详细讨论的对欧洲大陆哲学家产生重要影响的思想家）表达了一个相当类似的观点：那些逃脱哲学家与逻辑学家控制的东西是，从一个符号系统独立于被指派的对象那一刻起，这一符号系统自身服从于那种并不是由逻辑学家可以计算的变化⁽²³⁾。

概括如下，彭加勒提出了下列重要的问题：单一对象的同一性这一概念缺乏逻辑基础，同一性的概念依赖于差异与直觉；甚至在具有很好规则的形式系统中，一个对象的同一性不可能通过其与在整个形式系统中的所有其他对象的差异来得到保证；数学文本并不具有一种可靠的与永恒的意义，相反总是存在被个别的可能性的数学家与后继几代的数学家重新解释的可能性。

总之，我认为直觉主义者这种批评的最初轮廓与对后现代思想的理解相关。我将在后面返回到这些问题上，以表明是对“逻辑中心论”数学的批评构成了某些后现代思想线索的方法论先驱。在这之前，我将考察一个重要的对立纲领，希尔伯特纲领的命运，它对欧洲大陆哲学家影响，它在使数学直觉转变为一种抽象计算工具过程中所扮演的重要的角色。

【注释】

(1)见Mancosu（1998），p．135．

(2)译者注：这个数不在可计算列表上，所以应该是不可计算的，但是Q计算出了这个数，所以是一个矛盾。

(3)译者注：停机问题。

(4)Emile Borel，“A propos de la recente discussion entre M．R．Wavre M．P．Levy．”Revue de Metaphysique et de Morale．34（1927），271－276．引自英语译本（Mancosu，1998），p．296．

(5)D．van Dalen．“Four Letters from Edmund Husserl to Herman Weyl．”Husserl Studies，1（1984），1－12．

(6)Mancosu（1998），pp．94－95．

(7)Edmund Husserl．Cartestian Meditations：An Introduction to Phenomenology（The Hague，Njihoff，1960）pp．22－23．

(8)Jacques Derrida，Edmund Husserl’s Origins of Geometry（Stony Brook，Nocholas Hays，1978）．pp．137－153．

(9)logistique在这里是在柏拉图意义上使用的，指像商人与打仗的人采用的实际计算的技能，与哲学家的兴趣没有什么关系。柏拉图认为它比“纯”数学，也就是几何与算术要低级得多。

(10)在彭加勒对这一主题的整个研究中，这种有趣的比较结果在那些我们称之为自动机的证明系统的描述中被使用到了顶点“如果我们喜好，我们能够想象一台机器，在其中我们在一端输入公理，另一端采用定理。”（Science and Culture，p．147）

(11)见Antonio R．Damasio，Descartes’Error：Emation，Reason and Human Brain（New York，Avon Books，1994）．pp．188－189．

(12)“On the Foundations of Geometry”，Monist，9（1898），1－43．引自Arthur Miller，Imagery in Scientif ic Thought（Cambridge，Mass．，MIT Press，1986），p．20．

(13)引自Arthur Miller（1986），p．19．

(14)同上。

(15)对海德格尔来说，数学公理的明确表达只代表数学纲领的一个方面。形式化停留在“存在的澄清”而被预见到的知识形式的表面（“存在的澄清”是一种“存在性理解”或世界的解释，它先于形式化与直觉）：“数学纲领是事物本质，身体本质的预期；因此，万物及其与其他事物的关系的基本框架事先就被刻画好了。”（Basic Writings．p．268）这些形式化既不完备，也不永恒；它们随着历史的理解变化而变化。

(16)见Charles Misner，Kip Thorne，and John Wheeler，Gravitation（San Francisco，Freeman，1970）p．125．就空间的维度来说，Poincare的观点并不会令人惊讶：空间具有许多约度，就像我们身体中的肌肉一样。

(17)Nietzsche论逻辑的观点，引自The Complete Works of Friedrich Nietzsche，ed．By Oscar Levy．Vol．15（New York．Macmillan，1909－1913），p．33．Heidegger的陈述，见Basic W ritings，p．268．

(18)“Sur la nature du raisonnement mathematique．”Revue de Mètaphysique et de Morale．2（1894）．37－384。英译句子引自Miller（1986）．p．60．它讨论了专家之间的一场争论。瑞士生理学家与心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget），他不同意美国语言学家乔姆斯基（Chomsky）在语言天赋问题上的看法，也不同意彭加勒在连续运动群的天赋的观点。见皮亚杰，The Psychology of the Child（New York，Basic Books，1969）。然而，当前的几项研究对皮亚杰的学说提出了质疑，许多心理学家至少在部分上已经同意了彭加勒的观点。对于皮亚杰学派圈子外的人来说，问题不是连续性是否由心智“建构”，而是这种建构是如何进行的。这不仅是对心理学家，而且对哲学家来说，都是一个有趣的严肃问题。对运动连续性的“建构”的研究，见Paul A．Kolers，Aspects of Motion Perception（Oxford．Pergamon Press，1972）．

(19)引自彭加勒1912年在伦敦大学的演讲，见Miller（1986），p．24．

(20)在其对把数学化归为逻辑或其他纯形式系统的批评中，彭加勒探索了辩护数学归纳法中的某些困难。对彭加勒来说，不采用已有的一种形式的数学归纳法（制造一种从n到n＋1的“跳跃”），人们就不可能思考，即使在采用一种语法上的复数形式之中。“事实是要下定义不阐明一个句子是不行的，不用多个词，或至少不用几个词，或至少不用复数词，便很难造一个句子。因此，倾斜容易滑脱，时刻者易于陷入同义反复的危险之中。”（Science and Method．p．155）胡塞尔的弟子贝克尔（Oskar Becker）看来受到了魏尔与海德格尔的影响，在其1927年的文章“Mathematische Existenz”改进了彭加勒的反对意见。见Mancosu（1998）．pp．165—167。这一问题甚至被“后现代”心理分析学家拉康（Jacques Lacan）所强调，他一直把这一问题与主观性问题联系在一起。拉康注意到公式“n＋1”只不过包含着“主体的问题”。如果拉康的数学隐喻少一点含糊，人们也许会在拉康论数学归纳法的片段中找到与彭加勒思想的联系。考察这种含糊思想的有趣评论。见Alan Sokal and Jean Bricmont．Fashinable Nonsense:Postmodern Intellectuals Abuse of Science．（New York，Picador，1988）．pp．28－33．

(21)对于编码与克隆这一不寻常世界的更多讨论，见生活在加利福尼亚的法国哲学家Jean Baudrillard的著作，特别是Simutation（New York，Columbia University，Press，1981）。

(22)Warren Goldfarb．“Poincaré against the Logicists”．In P．Kitcher and W．Aspray（eds），History and Philosophy of Modern Mathematics（Minneapolis，Minesota University Press，1988）．p．78．

(23)Ferdinand de Saussure，Cours de liguistidue générale，Edition Critique．ed by Rudolf Engler，Vol．2（Wies baden．Harrasowitz 19671974）．p．23．英译本引自Frank（1989），p．426．Engler的批评性编辑因而也引自Edition Critidue。