四元数的产生

上面我们提到了从1930年代开始，人们为了解释字母表达式何以有效与正确，提出了型的永恒性原理。这一主观原理作为以前知识与传统观念的总结，慢慢地被人们所接受。但对新知识与新观念来说，它却是一种禁锢。对于19世纪的数学家来说，要创造一套不同于以往的自身不矛盾的代数系统，在当时是一件不可思议或者更恰当地说是没有人能够想到的事情。当哈密顿试图构造三维复数时所碰到的困难，根源在于他在意识中也确信，普通代数最重要的规律必定继续存在于他寻找的代数中。可见，数学的传统观念是多么难以逾越，以至于人们试图摆脱它的束缚的时候，总需要极大的勇气。不过，一旦这种尝试成功，所带来的影响将是巨大而深远的，它将向人们揭示一个新的世界。正如非欧几何冲破了传统的欧氏几何的束缚一样，这样的故事在代数领域里也发生了。

刚开始时，哈密顿试图寻找的是三元数，使它的乘法类似于复数的乘法。如果能找到这样的数，那么物理学里三维空间中的速度和力的表示就非常方便了。他为此思考了很长的一段时间，始终没有成功。经过一些年的努力之后，1843年他提出了一个有用的复数的空间类似物：四元数。但他发现自己被迫做出两方面的让步。第一个是他的新数包含四个分量，他认识到满足所有普通运算的三元数是不存在的，新的数至少应该包含四个分量。第二个让步更是出乎他自己的意料之外。这就是他必须牺牲乘法交换律。而当时数学家们所知道的全部数都具有乘法交换性，甚至这一特点已经成为人们所深信不疑的代数公理了。然而四元数这一类新的数竟然不满足乘法的交换律！

四元数的引入给数学家们又一次震动。这是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，如交换律。这对代数学是革命性的。但迈出这一革命性的一步，即便对于一个天才数学家来说也是一件极其不易的事。哈密顿为了完成这一发现，付出了十多年的心血。他自己曾如此描述他的四元数的发现过程：

“明天是四元数的第十五个生日，1843年10月16日，当我和LadyHamilton步行去都柏林途中来到布鲁厄姆桥的时候，它们就来到了人世间，或者说出生了，发育成熟了。这就是说，此时此地我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是i、j、k之间的基本方程；恰恰就是我此后使用它们的那个样子。我当场抽出笔记本，它还在，就将这些做了记录，同一时刻，我感到也许值得花上未来的至少10年（也许15年）的劳动。但当时已完全可以说，这是因我感觉到一个问题就在那一刻已经解决了，智力该缓口气了。它已经纠缠我至少十五年了。”

哈密顿本人也被这个违反传统的观念所震动，他取出了削铅笔的刀子，立即在桥的一块石头上刻下了这张乘法表的关键内容。

原来的刻痕早已被日月风雨侵蚀殆尽，但布鲁厄姆桥上现在装嵌了一块水泥板以纪念这个数学史上的伟大事件。

（1843年10月16日

哈密顿爵士曾散步

于此，关于四元数

乘法的基本公式（i2＝j2＝k2＝ijk＝－1）的天才发现来源于那时的一闪念，他还将它刻于此桥的一块石头上。）

在我们探讨四元数对代数产生的巨大影响之前，先让我们简单了解一下四元数的性质。