负数的运算

正如前面两章已经看到的那样，数是与运算紧密联系在一起的。某种新数引入后，紧接着的事情就是它的运算问题。自然数、分数如此，负数也如此。在最早引入负数概念的《九章算术》中，不但有了负数的概念，还提出了正负数的加减法则，当时叫做“正负术”。其中谈到加法法则是“异名相除，同名相益。正无入正之，负无入负之”。这里，“同名”、“异名”就是我们今天讲的“同号”“异号”，“除”、“益”就是“减”、“加”。加法法则用现代记号来表示，即是（设a＞b＞0）：

±a＋（±b）＝±（a＋b），这就是同名相益。

±a＋（b）＝±（a－b），这就是异名相除。

0＋（±a）＝±a，这就是正无入正之，负无入负之。

减法法则“同名相除，异名相益。正无入负之，负无入正之”用现代记号表示，即是（设a＞b＞0）：

±a－（±b）＝±（a－b），这就是同名相除。

±a－（b）＝±（a＋b），这就是异名相益。

0－（±a）＝a，这就是正无入负之，负无入正之。

对这些正确的负数运算法则，刘徽在自己的注中进一步阐述了它们的合理性。如他对负数的定义除了深刻揭示了负数的概念之外，还从运算上揭示出正负数相反相成的本质。

所谓“得失相反”，意谓增加红筹等于减少同样多的黑筹，它蕴涵着正负数的运算法则：“加正等于减负”，“加负等于减正”。这种运算法则，解决了筹算在“方程”术“无对”时的矛盾。“无对”，即指异名之数相减时，犹如减数无所对应而不能相减，因为筹算中，以负减正，按规则要在若干红筹中取去若干黑筹，是无法实现的。而根据刘徽指出的运算法则，取出黑筹等于添加红筹，这样筹算中的矛盾便得以解决。所以刘徽说：“益行减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。”

刘徽高度概括了正负数加减法则。他认为既然各行的符号可以根据需要而确定，那么，减法可以变成加法，加法可以变成减法，因此，正负数加减法则，可以概括为一种方法。前面正负数加减法则的符号表示，实际上反映了刘徽的概括。

显然，“正负术”与现在我们所学的正负数加减法则完全一致。中国负数概念和正负数加减法则的提出超前其他民族几个世纪，甚至上千年。对此，我们可以很自豪地宣称，中国是世界上最早使用负数的概念并建立正确负数加减法运算法则的国家！

关于乘除法则，《九章算术》未建立，包括刘徽在内的秦汉数学家都是小心谨慎，避免出现负数乘除法，规定“以少行减多行”以保证运算方便。由于没有引入正负数乘除运算，在解方程时只好用烦琐的辗转相减法处理。正因为正负数的乘除运算可化为累加或累减进行，所以长期被古算家谨慎地避开。经过长期实践，到1303年，元朝杰出的数学家朱世杰在《算学启蒙》一书中才在中国数学史上第一次正式提出了正负数乘法法则：“同名相乘为正，异名相乘为负。”再考虑到乘除的互逆关系，我国有关有理数的四则运算法则在13、14世纪应已齐备。

在印度，最早引入负数概念的婆罗摩笈多也给出了正确的正负数运算法则。他指出：“正数相减，大的减小的，结果为正；负数相减，（绝对值）大的减小的，结果为负。”“反过来，小的减大的，负变正，正变负。”“正数减负数或者是负数减正数，它们必须相加。”同时他又借助于生活实例对负数的运算法则进行了阐述。在他的著作里，他对负数的加减法运算法则作了如下的解释：“两种‘财产’的和是‘财产’，两种‘负债’的和是‘负债’；‘财产’和‘负债’的和等于它们的差。如果‘财产’与‘负债’相等，那么差是零。零与‘负债’的和是‘负债’，而零与‘财产’的和是‘财产’；两个零的和是零。从零减去‘负债’则成为‘财产’，而减去‘财产’则成为‘负债’。如果需由‘负债’减去‘财产’或者由‘财产’减去‘负债’，那么取它们的和。”

他还在世界数学史上第一次明确给出了负数的乘除法则，他说：“正负数相乘得负，二负数或二正数相乘皆得正。”“正数除以正数或负数除以负数得正，但正数除以负数或是负数除以正数结果都是负的。”我们前面已经提到，在这方面，我国古代明确给出正负数乘除运算法则要晚得多。

对于欧洲来说，我们已经提到他们的负数概念与运算都是从阿拉伯人那里得到的。在负数运算方面，在16世纪时卡尔达诺已有系统论述。在对负数完全认可以前，他们已经越来越自由地运用负数的运算法则了。不过，正如他们对负数概念所取的态度一样，他们把负数的运算法则往往看作是形式，以致到18世纪还有数学家认为：

（＋a）（－b）＝－ab，（－a）（－b）＝＋ab没有实际内容。

负负得正，正负得负，无须证明，只管记住。