硬币的戏法

“昨天你答应了表演硬币魔术的。”早茶的时候我提醒哥哥说。

“早上就玩魔术？好吧。腾一个碗出来吧。”

哥哥往空碗中放了一枚硬币。

“你往碗里看，别移动位置，也别往前倾。看得见硬币么？”

“看得见。”

哥哥稍微挪了一下碗。

“现在呢？”

“能看见硬币的边缘，其他部分被遮住了。”

哥哥轻轻地将碗再移开一些，直到硬币完全被碗壁遮住看不见为止。

“坐直了，别动。我现在往碗里倒点水。这下硬币怎么样了？”

“又能看见整个硬币了，它好像和碗底一起稍微往上移动了一些。这是怎么回事呢？”

哥哥拿起铅笔，在纸上画出了装有硬币的碗，这下我全都明白了。当硬币躺在没有水的碗底时，它发出的任何一条光线都不能传达到我的眼睛，因为光是沿直线传播的，而不透明的碗壁又恰好位于硬币和我的眼睛之间。而当往碗里倒满水之后，情况就发生变化了：光线从水中射出来进入空气中的时候，发生了弯折（科学家们称之为“折射”）并越过碗边进入人的眼睛。我们通常只遵循“光沿直线传播”的原理，所以就会不由自主地认为硬币位于比它原本所在的位置更高的地方，也就是我们是沿着折射后的光线所在的直线反向看过去的地方。因此我们就仿佛觉得，碗底随着硬币往上稍微移动了一些。

“这个实验在你游泳的时候也是适用的，”哥哥说道，“当你在可以看见水底的浅水处游泳的时候，永远都不要忘记，你所看见的水底的位置比它实际的位置要高一些。而且是要高出许多：大约整整水深的四分之一。我们假设，实际的水深是1米，那你感觉却仅仅只有75厘米。这也是为什么孩子们在游泳的时候经常会发生不幸：因为他们错误地估计了水的深度。”

“我曾经注意到，当我们驾着小船在可以看见水底的地方慢慢地划行的时候，会觉得最深的地方恰好就在船的正下方，而周围水域都要浅很多。当我们把船划到另一地方时，又会觉得周围的水都比较浅，而我们正下方又是最深的了。这就好像是深水处在随着小船移动似的。这是为什么呢？”

“现在这个对你来说就不难理解了。奥妙在于，我们所看见的深水处发出的光线几乎是垂直射出来的，较其他地方的光线而言方向改变的幅度要小；这就是为什么发出垂直的光线的地方的水底和发出倾斜光线的地方的水底相比而言，前者看起来往水面移动的位置要小一些。自然地，我们就会觉得最深处正好在船底下方，而实际上整个水底完全是平的……现在给你出一道题：你能否将11枚硬币放入10个碟子中，每个碟子中只放一枚硬币？”

“这也是一道物理实验题么？”

“不，心理学实验题。动手吧。”

“将11枚硬币放入10个碟子，每个碟子中放一枚硬币……不，我可办不到。”我立马就认输了。

“动手吧，我来帮你。将第一枚硬币放入第一个碟子，并把第十一枚也暂时放入其中。”

我往第一个碟子中放入了两枚硬币，疑惑不解地猜想接下来会发生什么情况。

“两枚硬币都放好了么？好。第三枚放入第二个碟子，第四枚放入第三个碟子，第五枚——第四个碟子……依此类推。”

我按哥哥说的做了，当我把第十枚硬币放入第九个碟子之后，异常惊奇地发现，还有第十个碟子是空的。

“现在我们往这个空碟子中放入暂时搁在第一个碟子中的第十一枚硬币。”哥哥一边说，一边把多余的那枚硬币从第一个碟子中取出来放到了第十个碟子里。

现在11枚硬币就都在10个碟子中了，并且每个碟子中都是一枚硬币……太不可思议了！

哥哥迅速收起所有的硬币，并不打算给我解释问题出在哪里。

“你自己应该能猜出来的。对你来说这比知道现成的答案要更有趣和更有益。”

他并不理会我的请求，又给我布置了一项新的任务：

“这有6枚硬币，将他们排列成3列，每列中都须有3枚硬币。”

“这需要9枚硬币。”

“用9枚硬币谁都能办到。不，你必须使用6枚硬币进行排列。”

“这难道又是一个让人莫名其妙的玩笑？”

“你太容易就认输了！看着，这多简单！”

然后他就按照下面的方式将所有的硬币排列开了。

图3-5　将6枚硬币排成3列，每列中有3枚硬币（方法一）

图3-6　将6枚硬币排成3列，每列中有3枚硬币（方法二）

“这就是三列，每列各三枚硬币。”哥哥解释道。

“可是，这三列不是相互交叉了么？”

“让它们交叉去吧。难道规定了他们不能交叉么？”

“要是我知道可以这样的话，我自己也能猜出来。”

“得，你自己猜猜看，怎么用其他的办法来解决这个题目吧。但不是现在，等会儿空闲了你再琢磨。现在你还需要解决三道同样性质的题目。第一，将9枚硬币排成10列，每列3枚；第二，将10枚硬币排成5列，每列4枚；第三题是这样的，我现在画一个由36个小正方形组成的大正方形（图3-7），你需要往里边放入18枚硬币，每个小正方形中只能放入一枚，使得每一横行和纵列都有3枚硬币……完成之后我用硬币给你表演一个有趣的游戏。”

图3-7

哥哥在旁边摆了三个碟子，并往第一个碟子中放了一摞硬币：最下面为一卢布，往上依次是50戈比、20戈比，然后是15戈比和10戈比。

“现在需要按照以下的规则将这摞硬币转移到第三个碟子中。规则一：每次只能移动一枚硬币；规则二：决不能将面值大的硬币放在面值小的硬币之上；规则三：可以在遵循前两个规则的前提下，暂时把硬币放入第二个碟子中。游戏完了之后所有的硬币都应该位于第三个碟子之中并且还是按照它们在第一个碟子中的次序。你瞧瞧，规则并不复杂。现在就开始行动吧。”

我开始搬硬币了。我把10戈比的硬币放入第三个碟子，15戈比的放入中间那个，然后就纳闷儿了：20戈比的放哪儿去呢？它可比10戈比和15戈比的都大呢。

“咋了？”哥哥给我解困来了，“将10戈比的放入中间的碟子和15戈比硬币上面，这样就可以将20戈比的放到第三个碟子了。”

我照着做了。接下来又给难住了。那50戈比的放哪里呢？不过，我很快就搞明白了：首先将10戈比的硬币挪到第一个碟子中、15戈比的挪到第三个，然后把10戈比的也放到第三个碟子。现在50戈比的硬币就可以放到第二个空碟子中了。再接下来，经过多次挪动之后，我成功地将一卢布的那枚硬币从第一个碟子移到了第三个，终于，将整摞硬币都弄到第三个碟子了。

“你一共做了多少次挪动呢？”哥哥称赞了我的作业并问道。

“我没数。”

“那我们来算算。毕竟，知道怎么样移动最少的次数来达成我们的目的同样是件有趣的事儿。如果这摞硬币不是5枚，而是2枚——15戈比和10戈比的话，那需要移动多少次呢？”

“3次：10戈比的硬币放入中间的碟子，15戈比的放入第三个，然后把10戈比的放到第三个碟子就行。”

“正确。现在我们再增加一枚20戈比的硬币。来算算这下需要移动多少次。我们这么办：先按规则将面值较小的两枚硬币转移到中间的碟子中，我们已经知道只需要做5次挪动。然后把20戈比的放到第三个空碟子——移动了一次。这下从中间的碟子中把两枚硬币放到第三个碟子去——还需移动三次。一共就是3＋1＋3＝7次。”

“让我来计算移动四枚硬币需要多少次。首先将面值较小的3枚硬币转移到中间的碟子去——这需要移动7次；然后把50戈比移动到第三个碟子——又1次，接下来将这三枚硬币转移到第三个碟子——还需要7次。总共是7＋1＋7＝15。”

“不错。那5枚硬币呢？”

“15＋1＋15＝31”

“呐，你已经掌握了计算的方法了。但我得告诉你怎么样简便算法。你瞧，我们所得到的数字是3，7，15，31——都是把2做两次或多次乘法之后再减去1。请看！”

哥哥画了一个表格：

3＝2×2-1

7＝2×2×2-1

15＝2×2×2×2-1

31＝2×2×2×2×2-1

“我明白了：需要移动多少枚硬币，就有多少个2相乘，然后再减去1。我现在可以计算出移动由任意数目组成的一摞硬币需要的次数了。比如说，如果有7枚硬币，则为：

2×2×2×2×2×2×2-1＝128-1＝127。”

“你已经完全明白这个古老的游戏了。只需要记住一条规则：如果是奇数数目的硬币，那就需要把第一枚硬币转移到第三个碟子；如果是偶数——则转移到中间那个碟子。

“你刚提到‘古老的游戏’，难道不是你自己想出来的么？”

“不是，我只不过把它应用到硬币上来罢了。游戏本身挺古老了，可能发源于印度。这个游戏有个古老有趣的传说。巴纳拉斯城好像有个寺院，印度婆罗门神在这个寺院里创造世界的时候制作了三根嵌有钻石的木棍并在其中一根上放了64个金环。寺院的祭司需要日夜不停地将这些金环从一根木棍转移到另一根，并利用第三根作为辅助，在此过程中需要遵循我们这个游戏的规则：每次只能移动一个金环并且不能把较大的金环放在较小的上面。该传说是这么讲的：等到将64个金环全部完成转移之后，世界末日就到了。”

“哦，这就是说，如果这个传说属实的话，那世界早就该毁灭了！”

“你是不是觉得转移64个金环花不了多少时间哪？”

“当然了。假设每一秒钟做一次转移，那一个小时就可以做3600次。”

“那又怎么样呢？”

“一昼夜就差不多100，000次了，十天就是1，000，000。100万次应该可以转移不止64个金环，而是整整1000个了吧。”

“你错了！转移64个金环需要足足5，000，000，000，000年！”

“可，为什么会这样？要知道需要转移的次数等于是64个2相乘，结果是……”

“‘仅仅’是1844亿亿多……”

“等等，我现在就计算出来检验检验。”

“很好。你做乘法的时候，我就可以搞定自己的事情了。”

哥哥走了，留下我一个人埋头苦算。我首先将16个2相乘的结果，65536平方，所得出的结果再平方。这活儿真没趣，但我有的是耐心，结果出来了，我得到的最后数字是：

18 446 744 073 709 551 616

这意味着……哥哥是对的……

鼓足勇气，我动手开始解答哥哥留给我自己做的其他题目。这些题不是那么复杂，有的甚至非常简单。将11枚硬币放到10只碟子的题目简单到极点了：我把第1枚和第11枚硬币放入第一只碟子，然后放第三枚，并依此类推。可第二枚硬币去哪儿了呢？我们完全就没放它呀！这就是全部的奥秘所在。

在解决排列硬币的题目时，看结果图就很清楚了（参看图3-8和图3-9）。

最后，如图所示（图3-10），将硬币放入小正方形的题目也解决了：18枚硬币位于由36个小正方形组成的大正方形中，并且每一横排和纵列都是三枚硬币。

图3-10　将18枚硬币放入大正方形（36格），每格放一枚，使横行和纵列都有3枚硬币