数学和科学成就

聪颖的笛卡尔很早就意识到了，数学方法的本质是以命题为起点，这些命题能够通过直觉清晰地得知是真实的，进而可以通过演绎逐步推导出其他结论。也就是说，他既考虑到了数学（可以延伸到科学）内部的严密性，同时又没有忽视感性知觉。这样一来，就消除了存在已久的权威，使人们在自我探寻方面获得解放，这是一种非经验主义的方法，相比亚里士多德三段论式的形式化，它提供了一种崭新的时代精神。

正如笛卡尔指出的，三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，并不能帮助我们发现未知的事情”。也正由于经院哲学的权威性，笛卡尔的方法论后来缓慢地通过非正式的渠道流传西欧。在英国，它启迪了还在剑桥大学念书的牛顿。牛顿后来在自己家的农场里，从一只落地的苹果获得启示，悟出并得到了万有引力定律，正是从内心里接受笛卡尔新思想的结果。至于数学上的成就，笛卡尔的主要贡献是在几何学方面。

今天我们无法知道，笛卡尔当初给他的战友兼导师信里提到的那四个重大发现究竟是什么。不过，在由于受伽利略被宗教法庭判决为有罪的影响而有意推迟出版的《方法论》的附录里，笛卡尔给出了一些几何学上的发现，其中如二次曲线的分类法、曲线的切线作法以及高次方程的解法等均已经过时。如果让笔者来归纳笛卡尔对数学的主要贡献，可能是以下四点：

其一，算术的符号化，比如我们现在普遍使用的已知数a，b，c……和未知数x，y，z……以及指数表达式就是由笛卡尔率先使用的。其二，从某个原点出发，延伸出x轴和y轴，建立了历史上第一个倾斜坐标系，并给出直角坐标系的例子，解析几何由此得以诞生。其三，凸多面体的顶点数v、边数e和面数f之间的关系：v -e + f = 2，后人称之为欧拉–笛卡尔公式。最后，笛卡尔叶形线，如今在微积分学教程里经常可见。

笛卡尔叶形线

帕斯卡尔三角，即贾宪三角

不难发现，笛卡尔对数学的热情主要来源于方法论的需要。在他看来，知识需要确定性，而数学正好提供了这一点。因此，在短暂的激情之后，笛卡尔便把兴趣转向更为广泛的问题，即为全部科学找到解决问题的方法。事实上，笛卡尔一度对数学也寄予厚望，正如毕达哥拉斯钟情于自然数（他的一句名言是“万物皆数”），笛卡尔认为任何问题都可以归结为数学问题，而数学问题又可以通过代数问题归结为方程问题。

相比笛卡尔对直觉和演绎的依恋，帕斯卡尔的数学更多来自经验和实践。17岁那年，他发表了《论圆锥曲线》，不久此文失传，直到一个多世纪以后才重又被发现，文中证明了射影几何学中几个深奥的结果，包括今天被称为帕斯卡尔定理的一个结论：圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线。尽管这项工作当年曾经遭到笛卡尔的嘲讽，但如今它仍然是整个几何学中最丰满的结果之一。

两年以后，为了帮助重新出山担任鲁昂地方长官的父亲计算税款，帕斯卡尔开始研制计算机并获得成功，这是人类研制成功的第一台计算机，虽然笨重异常，但可以进行八位数的四则运算。此后10年，帕斯卡尔继续改良并使之完善，陆续造出了五十来台计算机，可惜在广告营销方面不甚得力。不过，留存下来的八台机器中有一台为IBM公司所拥有。为了纪念帕斯卡尔，20世纪70年代初诞生于美国的一种计算机语言就用他的名字命名。

在帕斯卡尔对计算机的热情告一段落后不久，有个嗜赌如命的骑士向他讨教赌博输赢的概率问题，由此引导他深入研究，并与地处偏远南方山区的费尔马频频通信。数学史家一般认为，正是这两个法国人的通信，奠定了概率论这一数学分支的基础。随后，打赌的论证也进入到他最重要的散文著作《思想录》，成为其中最长、最有名的片段之一，他的出发点是，上帝要么存在要么不存在，这是一个与打赌一样非此即彼的问题。

笛卡尔《方法论》扉页，《几何学》是其附录三

帕斯卡尔《思想录》第二版扉页

作为概率论研究的副产品，帕斯卡尔还获得了二项式展开系数之间的相互关系，这个系数按升幂排列的形状在西方叫帕斯卡尔三角，它是组合数学的基本结论。其实，这个三角图在北宋数学家杨辉的著作里就已出现了，而杨辉称他的结果出自已经失传的贾宪的著作（早于杨辉两个多世纪）。因此它在中国的教科书里被命名为“贾宪三角”或“杨辉三角”，至于它是否是贾宪本人亲自发现并论证，就不得而知了。

无论帕斯卡尔还是笛卡尔，在数学以外的其他科学中都有杰出的贡献。帕斯卡尔定律是流体力学中的一条重要定律，说的是封闭容器中流体的某一部分压强如发生变化，将毫无损失地传递至其他部分和容器壁；同时，压强等于作用力除以作用面积。而帕斯卡尔也成了国际通用的压强单位，简称“帕”。在天气预报中，我们经常会听到台风或龙卷风中心的气压有多少千帕的说法（气压越低，风力越强）。另外，据说保险业的第一个数学公式也是由帕斯卡尔给出的。

笛卡尔的兴趣更广（这一点被后来的歌德效仿），他在光学、气象学和生理学等方面都有涉足。例如，在气象学上，他试图用自己建立起来的光的折射理论解释彩虹现象，并通过元素微粒的旋转速度来分析颜色。在生理学方面，他的野心就更大了，消化、呼吸、血液循环和神经系统都在他考虑的范围之内，他还研究喷嚏、咳嗽和哈欠的原理，知觉的机理以及眼球的晶状体，甚至购买尸体用来解剖。可是，他有关心脏功能的描述受到英国医生、血液循环理论的发现者哈维的责难，正如罗素所言，笛卡尔在这些学科上的工作远不如在数学和哲学方面出色。