下面我们精选一些例子供读者欣赏．
1．洛书图
前面提到的洛书图，是惟一的三阶幻方．但该幻方却有八种不同排列形式，如图5-4所示．
请读者观察这些图的变化：将图Ⅰ中两列对调得到图Ⅴ，将这两个三阶幻方分别以5为中心，经过3次顺时针旋转90°后，连同原来的可共得8种，但这8种不同的三阶幻方仅形式上不同，我们认为是同一类型．类型不同的幻方，应该是两幻方涉及的所有算式的数字组合至少有一个不同：
用(i，j)表示i行j列元.(i，j)(m，n)表示将i行j列元素与m列n行元素组合的数，观察图Ⅴ发现：如果从元素2(3，1)开始，取逆时针方向，则(1，1)格为4=22，(1，3)格为8= 23．而(2，3)、(1，3)为16=24；再从元素3(1，2)起，按顺时针方向：(2，1)为9=32，(3，1)、(3，2)为27=33，而(1，3)、(2，3)为81=34，前者是2，22，23，24，而后者恰是3，32，33，34．注意三阶幻方有8种形式．为什么河图正好选中这个(其他7个不具有上面的性质)？这是巧合还是其他？
图5-4
2.九九图
我国宋朝数学家杨辉在《续与摘奇算法》中给出了一个9阶幻方，如图5-5所示．
图5-5
该幻方中蕴含着许多奇特的性质．
(1)距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数之和都为82.注意12+92=82．
(2)将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶幻方．
(3)若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，如图5-6所示，又构成一个新的三阶幻方．并且幻方中的九个数分别是首项为111，末项为135，公差为3的等差数列．将这些数按大小顺序的序号写在九宫格中，它又恰好是“洛书”幻方，如图5-7所示．
图5-6
图5-7
(4)将幻方中“*”线(即对角线上的数字)上的数全部圈起来，再从外向里用方框框上．则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41又分别构成三阶幻方．(共四层，即4个)．即图5-5嵌套着4个三阶幻方，如图5-8所示．
图5-8
3.素数幻方
顾名思义是全由素数构成的幻方．我们已知，素数的分布没有规律可循，因此要用素数作成幻方实在是一件难事．可幻方爱好者们还是作出了一些幻方，如图5-9，图5-10所示．
图5-9
图5-10
其中，图5-9幻方中各个元素中尾数全是9，幻和为1077；图5-10中各个元素尾数全是7，幻和为798．
4.黑洞数幻方
如图5-11、图5-12两个幻方堪称两姐妹．
图5-11
图5-12
对于图5-11幻方，是6174的天下．该幻方中，4行4列4斜对角线及4副斜对角线上的4个四位数之和统统是6174.每一个田格中的4数之和都是6174.若再有规律地截得的长方形、平行四边形、梯形等几何图形的4角中的四数之和，也是6174这个精灵．
更神奇的是四阶幻方中的16个数，又像16个仙子，通过一定的四则运算它们个个可以变成6174．比如，我们任取一个数，如1341.第一步将这个数按数字大小从大到小重新排序—从小到大重新排序—大数减小数．
1341→4311→1134→4311－1134=3177
继续按大小重新排序，得出两个新数.并做差，即
7731－1377=6354
再接着做下去，就有
6354－3456=2898，8730－3780=4950
8532－2358=6174，7641－1467=6174
在计算到第5次时，幻和6174出现了．而且幻和出现以后，若再用这种运算法则计算一次，所得到的还是这个四阶幻方的幻方和．很显然，即使再作一万次，还会是这个幻和6174．读者也可以再任取另一个数，用同样的算法，最多6次可到达6174.真是奇妙！
对于图5-12幻方，幻和为495.它与6174幻方一样美妙．它们像是两姐妹．在幻方舞台上，不断变化魔术，给人一种艺术美的感受．数学中把6174和495这类数叫做黑洞数．
5.回文数幻方
全由回文数构成的幻方，称为回文数幻方：图5-13给出一个4阶回文数幻方．
图5-13
这个回文数幻方的幻和是13992．该幻方还是一个四阶完美数幻方．回文数本身具有对称的结构，而完美幻方又具有对称的特征．在数字的对称与幻方结构的对称的相互映射下，使得幻方表现出更美的趣味．
6.马步幻方
这里马步是指下象棋时，纵向二格，横向一格或横向二格，纵向一格的路线．数学大师欧拉所作五阶幻方可以取为代表作．这种幻方除具有对称性幻方外，还具有一个特异的性质：从元素1开始，以自然数为序，按马步指向1，2，…至25二十五个元素，时上时下，忽左忽右．虽如闲庭信步，其结果恰好走完全局．无一重逢，也无一空格．怎不令人拍案叫绝！如图5-14所示．
图5-15也是一个马步幻方，图5-16也是一个循马步路线走遍7×7格的例子．
图5-14
图5-15
图5-16
7.方中含方
“幻方大王”弗里安逊(R.Frianson)所作9阶幻方，如图5-17所示，堪称幻方之绝．该幻方中方中含方，奇中有奇．
(1)用虚线框出的正方形内，5×5个小圆内25个元素构成了5阶幻方．幻和为205.
(2)虚线框出的正方形内其他4×4个元素构成一个4阶幻方．幻和为164.
(3)虚线所框5×5+4×4=41个数字全是奇数．而框外40个数全是偶数．
(4)关于中央行镜面对称的两个数．末尾数字都相同．
8.和、积幻方(也叫加—乘幻方)
图5-18与图5-19是两个“和、积幻方”．幻方每一行和，列和，对角线和均为840和2115；且每行积(各数之积)、列积，对角积均为
2058068231856000和400617453604515840000．
图5-17
图5-18
图5-19
9.二次幻方
二次幻方就是它本身是一个幻方．同时幻方中各数的平方仍组成一个幻方．图5-20是一个9阶幻方．幻和是20049．
图5-20
10.雪花幻方
图5-21是一个“全对称幻方”．幻方中的数字对称中心“41”有对称性质，与41等距的两数之和总相等．(如62+20=79+3=67+15等)．此外将幻方左边第一列移动到最右边．上边第一行移动到最下边所组成的图形仍是一个9阶幻方．这类幻方称为“雪花幻方”．
图5-21
11.纪念幻方
人们喜欢幻方、研究幻方并给幻方附以纪念意义．即将某些纪念日的数字嵌入其中．图5-22、图5-23两个幻方就是具有纪念意义的幻方．
图5-23
图5-22是为纪念伟大领袖毛泽东主席诞辰100周年所设计的一个幻方．这是一个10阶幻方．其中100个数代表毛主席自出生之日起已经历了100年．幻方第一行中间四数，93，12，26，100.指明从1993年12月26日至幻方制作之年是毛主席诞辰100周年，最后一行中间三数19，76，83指明1976年，毛主席在83周年去逝．
图5-23是德国画家丢勒(A.Durer，1471～1528)的名画《沉思》中右上方的一个4阶幻方，是西方所作幻方中的珍品，其幻和是34，其中包括了许多奇特性质，如图5-24所示．
(1)第4行中间为两数连在一起恰好是丢勒作品的年代——1514．
(2)这是对称幻方：关于中心对称两数和为17.
(3)其中有8个方阵，元素和都是34.
图5-24
图5-22
(4)上两行八数平方和，下两行八数平方和，一三行八数平方和．二四行八数平方和，两主对角线上八数平方和，非对角线上八数平方和也都相等，都等于748.
(5)两主对角线上八数立方和，非对角线上八数立方和也都相等，都等于9248.
其实，神奇的幻方数不胜数．上述所列幻方只是大海一滴，下面再来看幻圆．
12.本杰明·富兰克林的幻圆
本杰明·富兰克林是一个幻方迷．事实上，在他任宾夕法尼亚州议院的办事员时，他常以作幻圆来解除工作中的沉闷．
幻圆最早是我国的数学家杨辉研究，他构造了一些与幻方类似的幻圆．杨辉在四个同心圆上构造了幻圆.幻圆的各个路径上诸数之和均为138，直线路径若均加中心位置的9，则为147.现在人们称这类幻图为幻圆．
不过本杰明·富兰克林的幻圆在构造上与杨辉的作法并不完全相同．其基本思路是这样的：在许多个按一定规则分布的互相相交的图的交点处，填上一定的数字．使得每个圆上的数字之和相等．本杰明·富兰克林的发明又称为八轮幻圆．其构造为8个圆环组成，8条半径分割各环成8个块．构成64个扇形．
各扇形内填有12～75个数．中心则以12填之．
与一扇形的数重复．其性质有下列几种：
(1)各环内诸数之和加中心数．都等于360．正是圆圈360个分度之数．
(2)每二半径所夹诸数之和加中心数皆是360.
(3)在水平直径上、下各半环内诸数之和加中心数之半皆是180，正是平角之度数．
(4)任意连接成方之4数的和，加中心数之半皆是180．
本杰明·富兰克林作这一幻圆花费了不少心血，用意也相当有趣，中心数12寓意着一年12个月，和数360又是圆周之度数，给人一种很神秘的感受．最近本杰明·富兰克林幻圆的彩色原作，在纽约的一次拍卖中被一个私人收藏家买去了.
13.珍奇的幻六边形
上述讨论的是在n阶正方形中进行填数．人们自然要问．将正方形换成正六边形．按要求填数将会有什么规律，这就是幻六边形(或幻六角形，如图5-25所示)．
这看似一个简单的问题，竟花去了美国一位铁路职员亚当斯47年的业余时间．从1916年开始到1963年．这么漫长的研究生涯，他尝试过多少次失败的艰难，可是他从不灰心，甚至在他生病住院期间，也时刻不忘研究幻六边形．1962年12月的一天，突然他的最关键的一个灵感来了，就在病床上，他终于实现了使15条线上各数和全等于38的美好愿望．于是一个神奇而漂亮的殿堂在数学的领域中高高地矗立了起来．可是它的竣工让一位铁路工整整花了47年时间．
当然，这位铁路工47年的辛勤劳动与执著追求，换来的不是什么金钱地位，而是兴趣和爱好的实现，换来的是19个数字的和谐匹配，整齐化一的彻底呈现．
他认为这一来之不易的结果，应该尽快广泛流传起来，让那些还在研究问题的同行少走弯路．于是他将他的幻六边形寄给一位有名的数学家，起初这位数学家并不以为然，不认为是什么重要结果，后来，经亚当斯再三督促，这位数学家才认真研究起来．研究中他惊奇地发现，数学图中的任何数字所放的位置都是那样天然的巧合．想改变哪个数字都是不可能的．这就使得这位数学家兴奋起来，他感到亚当斯的劳动成果原来是惟一的，显得十分珍贵．于是他便做了热情洋溢的赞扬和宣传．不久亚当斯的名字以及他的幻六边形传遍了世界各地．
图5-25
14.幻星
除了幻方、幻圆，还有人研究幻星．下面给出几个幻星的例子供读者欣赏，如图5-26～图5-28所示．
图5-26 幻五角星
这里，四个图中，只有七角星使用的是1～14这14个连续自然数．
以上只是一些基本的幻方，在这里还介绍几种更加具有神奇色彩的幻方，如反幻方、颠倒幻方、偏心幻方等几种幻方．
15.反幻方
最简单的反幻方是3阶幻方，而8阶的反幻方不存在．至于9个空格的3阶幻方，要把1、2、3、4、5、6、7、8、9填入共有362 880种方法可以填．由于旋转和反射都是一种．所以有45 360种．这个数字还是比较大，不如随便拿一个来看一看(见图5-29)．由于是任意写的一个不具备幻方的性质，但是读者也许会发觉在图中7+1+8=3+5+8=16．也就是说在这个随便填写的3阶3×3的正方形列阵中，某一行与某一列上的数字之和正好相等，在普通的幻方中，和相等是追求的目标．而在反幻方中都是力图避开．就是要用1～9这9个数字填入3×3的正方形中，必须使其中任意一行和任意一列乃至任意一条对角线上的三个数字之和都不相等，能够满足上述条件的幻方有不少．于是人们又添加各种附加条件，其中较为引人注意的条件就是：凡是填到3×3正方形列阵中的自然数必须按顺序邻接或螺旋状．有人已经找到这样的螺旋反幻方，只有两个，如图5-30、图5-31所示．
图5-27 幻六角星
图5-28 幻七角星
图5-29
图5-30
图5-31
16.填数幻方
在一张正方形的纸片上有16格．其中已经填好10个两位数，还有6个数字用英文字母代替．请你填进适当的数，替换字母要使每个对角线上的4个数字之和都是相等的，还要把它倒过来性质依然成立．奥妙是6个英文字母不是乱点鸳鸯谱，之所以选定它们，是因为倒过来还是原来的字母I、N、O、S、H、X．如图5-32所示．
图5-32
由图5-32可以观察到，在阿拉伯数字中，像3、4、5等，颠倒后，就会面目全非，谁都不认识．能够保持不变的是0、1、6、8、9，然而，以0开头的二位数，通常并不认为它是真正的二位数，由于不符合要求，所以在组建幻方的时候，不许把以0开头的二位数排除在外．作了以上的交待之后，我们就能轻而易举的找出答案，先从副对角线上的四个数字开始，求出幻方常数
19+86+91+68=264
然后追击，分别求出I、S、H、N、O、X代表的数字，答案就出来了，如图5-33、图5-34所示．
图5-33
图5-34
不难看出，图5-33倒过来就是图5-34，就像照镜子一样，惟妙惟肖，你中有我，我中有你，分不清谁主谁从，谁正谁副了！
事实上，下面7对二位数互为镜像数，它们是96和69、89和68、91和16、61和19、86和98、18和81、66和99．而11和88是自对偶的．英文大写字母中，颠倒过来看形状是不变的，除了上面的6个以外还有一个Z也是．
17.偏心幻方
日本幻方的研究很有特色，引起各国重视，这里自然有很多方面的原因．毫无疑问，日本的幻方自中国传去，但是历来受到数学界的重视，关孝和对幻方就有很多的研究成果．
譬如说，对于嵌套幻方，从古到今只知道是同心的，无论哪个层次奇数阶幻方只能有奇的幻方，偶数阶幻方只能有偶的幻方，奇偶之间没有中间状态．以前，几乎所有的中国与西方的数学古籍，都找不到一个奇偶相间的．因此，偏心幻方的出现使人们大吃一惊，简直有点不相信自己的眼睛了，爱挑剔大概是人们普遍存在的一种毛病，于是大家便拼命地想在偏心幻方中找碴儿，找漏洞，企图证明偏心幻方的不成立．
然而，证明偏心幻方不成立的一番努力是徒劳的．由图5-35中的这个8阶幻方不难看出，方阵中的元素，确是自1至64的自然数．完全符合幻方的经典定义和模式．这一8阶幻方的常数等于260，与理论推算完全一样，然而，偏处一侧的五阶幻方，其幻方常数等于164，有点离经叛道了．
不妨再来解剖一下这个怪异的5阶幻方，究竟收罗了一批什么样的数字呢？不查不知道，清点以后倒是令人大有启发的：
开头的10个数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
结尾的10个数64，63，62，61，60，59，58，57，56，55
中间的5个数30，32，34，36，38
标新立异在科学上从来就不是坏事．
图5-35
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