微积分学的发展

第一节　微积分学的发展

在18世纪，无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数术，代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数；马克劳林的《流数论》可以说是对微积分最早的系统处理，该书是为反驳伯克利主教《分析学家》一文而作，后者出于宗教的动机，对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评，引起了关于微积分基础的论战。

泰勒、马克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。18世纪初即已爆发的微积分发明权的争论，滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪，他们囿于的传统，难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照，在海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

推广莱布尼茨学说的任务，主要由他的学生、瑞士巴塞尔的雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利两兄弟担当，而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。

欧拉于1748年出版了《无穷小分析引论》，这部巨著与他随后发表的《微分学》、《积分学》标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。

数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等；通过一些困难积分问题的求解，诸如B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴；已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化，而且被推广到复数领域。

在18世纪，数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有形成统一的见解，他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。尽管如此，许多人对建立微积分的严格基础仍作出了重要的尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大师拉格朗日采取了所谓“代数的途径”。他在1797年出版的《解析函数论》一书中，主张用泰勒级数来定义导数，并以此作为整个微分、积分理论之出发点。

达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”，但用极限的概念代替了含糊的“最初与最终比”的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势，那么，达朗贝尔则为微积分的严格表述提供了合理的内核。19世纪的严格化运动，正是这些不同方向融会发展的结果。