《九章算术》

第二节　《九章算术》

一、成书背景

中国数学经过长期积累，到西汉时期已有了相当丰富的内容。除《周髀算经》外，西汉初期出现了第一部数学专著——《算术书》，用竹简写成。全书共60多个标题，如“相乘”“增减”“少广”“税田”“金价”“合分”等，标题下列有各种问题。《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响。另外，从甘肃居延等地出土的竹简发现，西汉已有初步的负数及比例概念，面积和体积计算的知识也增多了。这些都为我国初等数学体系的形成准备了条件。

《许商算术》和《杜忠算术》是《九章算术》之前不久成书的著作。许商，长安人，公元前32——前8年曾任西汉大司农、河堤都尉等官职。他参加过治水工作，精通天文历法和计算，著《许商算术》26卷。杜忠与许商同时代，著《杜忠算术》16卷。

现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成。它是一部承前启后的著作，一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果，集当时初等数学之大成；另一方面又对后世数学发展产生了深远的影响。

二、内容与体例

《九章算术》包括丰富的算术、代数和几何内容，全书共246题，几乎全是应用题。这些问题按不同的用途分为九卷，故名《九章算术》。下面简介各卷内容。

卷一“方田”，38问，主要讲平面图形的计算，包括系统的分数算法。

卷二“粟米”，46问，粮食交换中的比例问题。

卷三“衰（cuī）分”，20问，比例算法在分配物资等问题中的应用。

卷四“少广”，24问，开平方、开立方问题。

卷五“商功”，28问，土木工程中的体积计算。

卷六“均输”，28问，主要讲纳税和运输方面的计算问题，实际是比较复杂的比例算法。

卷七“盈不足”，20问，算术中盈亏问题的解法。

卷八“方程”，18问，主要讲线性方程组解法，还论及正负数概念及运算方法。

卷九“勾股”，24问，勾股定理的应用。

书中的各类问题都有统一解法，但没有证明。经后人验证，这些解法的绝大部分是正确的。各法以“术”名之，术文统御习题，这是本书体例的基本特点。例如，方田术“广从步数相乘得积步”，勾股术“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，便分别统御各方田问题及勾股问题。

三、数学成就

1．算术

（1）分数运算

《九章算术》方田章系统给出了分数四则运算法则，以及通分、约分、化带分数为假分数的方法，其步骤与现代一致。

分子、分母有公约数时，可利用公约数来化简分数。《九章算术》提出一种“更相减损”法来求最大公约数：“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。”即用分子和分母中的大数减去小数，互相减，减到余数与减数相等为止，该数便是原来两数的最大公约数。

（2）比例算法

《九章算术》的二、三、六、九各卷中，广泛使用比例算法来解决应用问题，并给出一般法则：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”

所求数∶所有数＝所求率∶所有率

书中称该算法为“今有术”，大概是因为这类问题的开头常冠以“今有”二字。例如：“今有丝一斤价值二百四十钱，今有钱一千三百二十八，问得丝几何？”

除了这种最简单的比例问题外，书中还有连比例、复比例、配分法等复杂的比例问题。例如：“今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？”这便是一个复比例问题，其中9日乘750钱为所有数，30钱为所求率，30日乘1000钱为所有率。实际上，《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容。

（3）盈不足术

《九章算术》卷七专讲盈亏问题，解法称为盈不足术。例如：“人出八盈三，人出七不足四，求人数、物价各多少？”

2．代数

（1）开方

《九章算术》中载有开平方、开立方的方法。例如，欲求55225的平方根，其中55225叫“实”（被开方数），最下面的1叫“借算”，代表最高项系数。此式实际上表示方程：

x²＝55225

将“借算”向左移动，每一步移二位，移二步后停住，于是，原方程变为：

10000x₁²＝55225

议得x₁大于2小于3，就在实的百位上置2，作为平方根的第一位数。以议得的2乘10000得20000，放在实之下，借算之上，叫法。再以2乘法得40000，从实中减去，余15225。

把法加倍，向右移一位，变为4000，叫定法。把借算向右移二位，变为100，这相当于方程：

100x₂²＋4000x₂＝15225

议得x₂大于3而小于4，就以3为平方根的十位数。以3乘100得300，加入定法得4300；以3乘4300，从实中减去，余2325。

再以300与4300相加，得4600，向右移一位变为460，这是第三位方根的定法。把借算向右移二位，变为1，这相当于方程：

x₃²＋460x₃＝2325

议得x₃＝5为平方根的个位，以5乘借算1，加入460得465。以5乘465，从实内减去，恰尽，得55625的平方根235

从文字叙述来看，筹算开方法似乎很繁，实际摆筹运算是相当简便的。这种方法到宋代发展为增乘开方法，对高次方程解法产生了巨大影响。

（2）正负数

《九章算术》中不仅有正负数，而且还建立了正负数加减法则，即“正负术”。加法法则为：“异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之。”即异号两数相加，绝对值相减；同号两数相加，绝对值相加；0加正数为正，0加负数为负。类似地有减法法则：“同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之。”

（3）线性方程组

《九章算术》中的“方程”，实际是线性方程组。例如卷八第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？”（禾即庄稼，秉即捆，实即粮食。）依术列筹式，它相当于三元一次方程组

其中x，y，z分别为上中下三等按《九章算术》解法，用（1）式x的系数3去乘（2）的各项，得

用（4）减（1）二次，得

再用（3）×3，得

（6）减（1），得

这种方法叫“直除法”，即连续相减法。它的原理与现在加减消元法一致，只是比较烦琐。

3．几何

《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式。

书中的体积公式很多，包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台，其体积公式都与今一致。

《九章算术》对勾股定理的应用很广泛。它首先给出勾股定理的三种形式，然后解决了几十个应用题。例如：“今有圆材不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”以r为圆半径，由勾股定理得

r²＝52＋（r－1）²

解得r＝13，解之即圆径。

在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，后人在此基础上进一步研究，找到了整勾股数的一般规律。

四、理论特色及意义

如果要找两部在世界上流传最久的古代数学著作，那就是希腊的《几何原本》与中国的《九章算术》，它们都是世界数学史上极为珍贵的文献，分别在西方和东方的数学发展中产生过深远影响。但两书是各有特色的，从中可以看出东、西方数学的差异。

在指导思想上，《九章算术》是把数学当作工具来用的。全书246题，几乎都是与生产、生活实际有关的应用问题，这说明作者在研究数学时，是以应用为目的，不大重视数学体系自身的完善。而《几何原本》则正好相反，全书没有一道应用题，全是“纯粹”的数学问题，表现出作者追求数学自身完善，“为数学而数学”的思想。

从体例上来看，《九章算术》以术文统御习题，以计算为中心；《几何原本》则是一个演绎体系，以证明为中心。

在几何研究方面，《九章算术》把重点放在几何量的研究上，把大量算术及代数知识用于长度、面积和体积计算；《几何原本》则把重点放在图形性质及相互关系的研究上，采用的是比较纯粹的几何方法。

总的来说，《九章算术》与《几何原本》相比，前者以实用性、计算性见长，后者以逻辑性、抽象性取胜。当然，《几何原本》对近代数学发展所起的作用无疑超过《九章算术》，因为它那种逻辑演绎体系更适合于近代数学。但《九章算术》在世界数学史上的地位也是不应忽视的。

《九章算术》的成书，标志着中国初等数学体系的形成。该书包含了丰富的算术、代数和几何内容，形成一个以算筹为计算工具的、有自己特点的完整体系。《九章算术》中的一些成就具有世界水平。比例算法、盈不足术、开平方和开立方、负数的引入及正负数加减法则、线性方程组解法，都是世界上最早提出的。

由于《九章算术》的实用性强，它对当时的社会有很大影响。早在东汉时期，政府就把它当作校对度量衡的数学依据。书中的数学知识被用于解决各种实际问题，例如当时的历法（《四分历》、《乾象历》）便采用了书中的正负数加减法则，田亩测量及土木工程则离不开各种面积和体积公式。

在中国数学史上，《九章算术》的影响是极为深远的。首先，它的体例在一千多年的时间里起到了“示范”的作用。从汉至明，大部分算书遵从《九章算书》的体例。有些甚至直接冠以“九章”之名，如杨辉《详解九章算法》、秦九韶《数书九章》、吴敬《九章算法比类大全》等。其次，《九章算术》重应用、重计算的特点被后世数学家所继承，形成中国古代数学的传统，即从实际问题出发，寻求数学解决办法。最后，《九章算术》中的许多理论，直接为中国数学的发展奠定了基础。如开方法对于高次方程，线性方程组对于四元术，都有一定的奠基作用。

自隋唐至宋，《九章算术》曾长期作为中国的数学教科书。实际上，《九章算术》成书后，历代研究数学的人几乎没有不读该书，不从中吸取营养的。它对于培养数学人才具有不可忽视的价值。

《九章算术》传到日本、朝鲜等东方国家后，也曾被当作教科书使用。越南的数学家在研究此书的基础上，写出若干书名冠以“九章”的数学著作。《九章算术》的某些内容还曾传到印度和阿拉伯国家，并辗转传到欧洲，对世界数学的发展起了一定作用。例如《九章算术》勾股章中的一些问题几乎原封不动地出现在后来的印度数学著作中，盈不足术与比例算法也先后传入阿拉伯和欧洲。