连成多少三角形

连成多少三角形

1995年5月，第五届华罗庚金杯少年数学邀请赛在华老的故乡金华举行，决赛第二试的最后一题如下:

一个圆上有12个点，A₁，A₂，A₃，…，A₁₁，A₁₂，以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交，问有多少种不同的连法?

根据题设要求，图中应连4个三角形，且每个三角形的两顶点或者是圆上相邻的两点，或者中间恰含3、6、9个点。我们分几种情况来考虑:

第一种情况:每一三角形的任一顶点都与另一顶点相邻，此时，其中的一个三角形就可惟一的确定一种连法。比如△A₁A₂A₃确定的连法由如下4个三角形构成:

△A₁A₂A₃，△A₄A₅A₆，△A₇A₈A₉，△A₁₀A₁₁A₁₂。同样，△A₂A₃A₄，△A₃A₄A₅也分别确定另两种不同的连法，一共得到3种连法，而其他三角形确定的连法均与这3种中的一种相同，比如△A₄A₅A₆确定的连法与△A₁A₂A₃确定的连法相同。由此可知，在第一种情况下，有3种连法。

进一步，我们来考察这里的代表三角形A₁A₂A₃，A₂A₃A₄，A₃A₄A₅，记变换A₁→A₂→A₃→…→A₁₁→A₁₂→A₁为π，可知在变换π下，A₁A₂A₃→A₂A₃A₄→A₃A₄A₅。这说明，当给出一种连法后，其他连法都可以由π的变换得到。这种变换的不变性被科学家们称作对称的基本形态——一种高层次的对称。

第二种情况:恰有一个三角形，存在一顶点与另一顶点相邻，这里又分两种情况:

(1)这个三角形有两顶点相邻，此时这个三角形惟一地确定一种连法，比如△A₁A₅A₆确定一种连法，连续作11次π的变换，共得到12种不同的连法，第12次变换后，△A₁A₅A₆又回到△A₁A₅A₆的位置。

同样我们考虑与△A₁A₅A₆处于对称位置的另一三角形△A₁A₇A₈也确定一种连法，连续作11次π的变换，又得到另12种不同的连法。

此时，一共得到24种连法。

(2)这个三角形的任两顶点都不相邻。

比如△A₁A₅A₆确定一种连法。通过π的变换，一共得到4种不同的连法。

由此可知在第二种情况下，一共有28种连法。

第三种情况:有两个三角形，存在一顶点不与另一顶点相邻。

这两个三角形确定一种连法，比如△A₁A₅A₆和△A₇A₈A₁₂确定一种连法，由π的变换一共得到12种连法。

又比如△A₁A₅A₆和△A₇A₁₁A₁₂确定另一种连法，由π的变换又得到12种连法。

如画出图形可知，前者呈轴对称状态，后者呈中心对称状态，故第三种情况下有24种连法。

综上所述，所有不同的连法共有:

3+28+24=55种。