池塘中的芦苇有多高

池塘中的芦苇有多高

陈明和张红、方华在昆明湖中划船，岸边有一棵芦苇露出水面。这棵芦苇有多长呢?这里水有多深呢?小明捉摸了一会，拿出尺来量了量芦苇露出水面的长度是11厘米。芦苇离岸边的距离是3米零1厘米，他又扯着芦苇顶端引到岸边，芦苇顶正好和水面相齐，陈明高兴地说，我可以算出芦苇的长度和水深。张红和方华感到奇怪:你怎么会算的呢?陈明说:“我叔叔有一本《九章算术》，那是汉朝的著作，离现在快两千年了。前天晚上，叔叔给我讲了其中一个题目，就是计算芦苇长度的。”接着，陈明给他的小伙伴讲了这个《九章算术》勾股章的第六题。题目是:

“有一个方池，每边长一丈，池中央长了一棵芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端引到岸边，苇顶和岸边水面刚好相齐，问水深、苇长各多少?

设池宽ED=2a=10尺，C是ED的中央，那么，DC=a=5尺，生长在池中央的芦苇是AB，露出水面的部分AC=1尺，而AB=BD，设BD=c，水深BC=b，△BDC是一个勾股形。显然AC=AB－BC=c－b=1尺，AC的长等于勾股形中弦和股的差，称为股弦差。于是，问题就变了:已知勾股形的勾长和股弦差长，求股长和弦长。

由勾股定理得

a²=c²－b²

那么，

a²－(c－b)²=c²－b²－(c－b)²

　　　　　　　=c²－b²－(c²－2bc+b²)

　　　　　　　=2bc－2b²

　　　　　　　=2b(c－b)

　　　　　　　所以

　　　　　　　b=　　(1)

　　　　　　　c=b+(c－b)　　(2)

将a，c－b的数值代入(1)、(2)两式，很容易求出水深b=12尺，苇长c=13尺。《九章算术》用非常精练的语言概括了这个解法:

半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余、倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭(苇)长。

这段话翻译成数学语言就是(1)式和(2)式。