滚落判三球

滚落判三球

Three Balls Roll Down

这是刚体力学教学特别是转动惯量教学的一个引入性演示实验。如果有3个质量一样、外形一样但材质不一样的球，我们如何进行无损的鉴别？如何迅速地知道哪个球用的材质密度比较小，而哪个球的材质密度比较大？其中一个巧妙的方法就是利用它的转动效应。由于它们质量相同，外形一样，但材质不同，所以这3个球的空心程度将不同。

实验装置

图1　不同材质金属球

分别用铝、铁和铜做成的几个圆球，铝球可以是实心的，铁球和铜球由于要保证和铝球具有一样的质量和外半径，它们就应该是空心的，而且空心程度也是不同的。在加工这两个球时，空心状态应做成球对称的，这样有利于和理论计算相对应。这三个球的外表面最好是均匀喷塑的（为了区别，可采用不同的颜色）。

另外还需要一块宽15cm、长在1.5m左右，两侧边最好有高1cm的阻挡边的长木板，这个木板斜放在地面上形成一个斜面。斜面的一端有一个可调节长短的支撑装置。

本实验最好配置一个秒表和一个毫米刻度尺（刻度尺也可以直接刻在斜面板上）。

现象观察

支好了斜面以后，让3个球从同一高度同时放手沿斜面滚下，观察哪个球最快、最先滚到斜面的底端，哪个球次之，哪个球最慢。

调节斜面的倾角，可以重复观察这个现象。我们会发现，这3个球快慢的先后次序是不会变化的。

最好能保持这些球在斜面上做纯滚动，所以斜面的倾角不要调得过大，如果出现了又滚又滑的运动，观察的效果会有所减弱。

如果要配合定量分析，可以记录这3个球做纯滚动时从放手到滚至斜面底部各需要多少时间，这个时间比可以与理论计算的结果作比较。

现象解密

当小球在斜面上做纯滚动运动时，我们可以用质心运动定理和转动定理或用机械能守恒定律分析其运动情况，下面用机械能守恒定律对这个现象进行讨论：

当小球沿着斜面下滑L距离后，它在竖直方向下落了h，

θ是斜面的倾斜角。机械能守恒表示为

这里J为球的转动惯量。在纯滚动情况下，质心速度与转动角速度成正比。

这样，小球质心到斜面底部时的速度为

由于在这个运动过程中小球受到的都是恒力，所以小球质心的运动将是匀加速运动，满足

即

图2　小球沿斜面滚下

从这里可以看出，小球的转动惯量越小，下落所需的时间就越短；其转动惯量越大，其下落所需的时间就越长。这3个球的材质分别为铝、铁和铜，可见铁质的和铜质的球有很大的空心程度，质量更集中在外沿上，表现的转动惯量就比铝质球更大，特别是铜质的球。所以，滚得最快的将是铝球，落在最后面的是铜球。

应用拓展

转动惯量代表了刚体在转动时的惯性大小，在同样的角速度下，即使质量相同的物体，如果它的转动惯量越大，则它的转动动能越大，这也是很多机床的惯性轮往往在外边缘做得比较厚的原因。

问：你能设计出几个利用刚体转动原理的演示实验吗？你能想象出还有哪些应用？

思考题

1.根据上面演示实验测得的下落时间比，你能推导出这3个球所用材质的密度比吗？

2.如果在小球滚下的过程中有滑动的现象发生，你觉得实验现象将会有什么不同？为什么倾角过大会导致实验现象变得不明显？

3.如果用质心运动定理和转动定理，你能对上述现象进行理论分析吗？