弹性球碰撞

弹性球碰撞

Elastic Collision

台球是一项在国际上广泛流行的室内体育运动，其中斯诺克台球已被官方认可而成为正式比赛项目。台球打法和其他球类打法不同，运动员不是直接打击目标球，而是先用球杆打白色主球，再由主球把目标球撞进球袋或连续碰撞两个目标球方可得分。打台球的整个过程，从球杆怎么打，打主球的不同部位将使其产生什么样的旋转变化，到主球撞击目标球后，两个球将要产生什么样的旋转变化和行进去向等，都包含着深刻而丰富的物理学原理。本实验就两球的碰撞展开讨论。

实验装置

弹性碰撞演示仪由底座、支架、钢球、拉线、拉线调节螺丝等组成，每个钢球的大小和质量都相同，如图1所示。

图1　弹性碰撞结构示意图

现象观察

（1）调整弹性碰撞演示仪中每个小球的悬线长度，确保所有小球的质心在一条水平直线上。

（2）将位于装置一端的第一个小球拉起使其偏离竖直方向一定角度，松手让其碰撞其他静止的小球。可观察到原先被拉起的小球会突然静止，中间的几个小球仍然静止不动，而装置另一端的最后一个小球会获得第一个小球的速度而弹起，运动到第一个小球被拉起的高度后落下，如此来回往复。

（3）将位于装置一端的两个小球同时拉起后松手，重复上述实验。可观察到原先被拉起的两个小球会突然静止，中间的几个小球仍然静止不动，而装置另一端的最后两个小球同时弹起，随后同时落下，如此来回往复。

现象解密

两个或两个以上物体的碰撞，是它们以一定速度相互接近、接触及相互作用的过程。由于物体间的相互作用，它们的运动状态将发生变化，从而引起动能和动量的交换。

由于物体碰撞过程中相互作用的时间极短，外力的影响可以忽略，所以碰撞系统的总动量总是守恒的。但实际上，物体在碰撞过程中总有部分动能要转变为热能、形变能等其他形式的能量。如果碰撞过程中物体的动能完全没有损失，这种碰撞称为完全弹性碰撞。

设质量为m₁的第一个小球的初始速度为v₁₀，与质量为m₂的第二个静止小球发生对心完全弹性碰撞，碰后两球的速度分别为v₁和v₂，由动量守恒定律：

当两球发生完全弹性碰撞时，机械能守恒：

解方程①、②得：

当两球质量相等，即m₁=m₂时，由③式得：

由动量守恒和能量守恒定律及④式可见，质量相等的两个球弹性正碰后，第一个球静止，第二个球获得第一个球的速度，并接着去碰撞第三个球，以此类推，由此实现小球间动量和能量的传递。等质量五联摆装置，还可允许我们自由组合联球个数，进行相应的实验演示和分析。

应用拓展

英国物理学家牛顿（1643—1727）在1665—1666年间总结了各种碰撞实验的结果，引入恢复系数的概念，建立了牛顿碰撞定律。在对心碰撞中，设两物体碰撞前在运动方向上的速度分别为v₁₀和v₂₀，碰撞后的速度分别为v₁和v₂，则恢复系数e被定义为两物体碰后的分离速度(v₂－v₁)与碰前的接近速度v₁₀－v₂₀之比，即：

由碰撞定律不难验证，对于完全弹性碰撞，有e=1；对于完全非弹性碰撞，有e=0；对于一般的非弹性碰撞，则有0<e<1。

思考题

1.假设其中有1颗钢球的高度略低于其他4颗，这样能量会守恒吗？为什么？

2.仿照上述实验，一次拉起3个或更多个不同数量的小球，使它们碰撞其余的小球，观察碰撞过程其他球跳起的情况，并从理论上加以分析。

3.为什么碰撞发生一段时间后，位于两边的小球的摆幅会逐渐减小，最终停下来？

4.若小球碰撞一个比它质量大得多的大球，碰撞结果会如何？若大球碰撞一个比它质量小得多的小球，碰撞结果又会如何？

5.如果5颗钢球都换成滑鼠的滚珠，碰撞的情形是否一样？为什么？