奥斯卡数学大奖

奥斯卡数学大奖

许多人给出的对太阳系稳定性的证明，包括拉普拉斯的证明，都不是严格证明，有假象。在证明中实际上只判断出行星轨道在有限的时间内是稳定的，不能判断出行星轨道的长期行为是否也是稳定的。为了研究以百万年计甚至上亿年计的宇宙时间尺度上的长期行为，还得回到太阳系的方程组上来。为此许多人投入此项研究之中。

有人认识到三体问题是多体问题中最简单的，于是在三体问题上下功夫。其中美国天文学家兼数学家希尔(G．W．Hill)于1876年对三体问题作了简化:(1)将三体中质量最小的一个(比如卫星)的质量予以忽略，这样质量较大的两个天体(比如行星)不再受它的影响;(2)三个天体在同一平面内运动;(3)较大的两个天体围绕它们共同的质心做圆运动，而不是做一般的椭圆运动。这样，他把问题化简为4个方程组成的方程组，4个变量代表小天体的位置和速度。该方程组看上去相当简单，但仍然不能找到它们的一般解。

另一些人则试图构造多体问题的级数解，就是把一般解表示成多项之和的形式并要求各项都为已知。这种做法的困难是一直未能证明这样构造出的级数解是收敛的^[1]，因为否则的话级数发散，是没有意义的。于是，在一些热心这一问题的科学家的撺掇下，瑞士国王奥斯卡二世(OscarⅡ，1829—1907年)^[2]于1887年设立了一项数学大奖，就太阳系是否稳定的问题悬赏2500克郎征解。

法国科学家庞加莱(H．Poincare，1854—1912年)进攻奥斯卡难题，于1889年提交出一篇长达270页的论文《论三体问题和动力学方程》。第一部分确立动力学方程的普遍性质;第二部分将其结果应用于万有引力作用下的任意多体问题，其中对二体如地球和太阳的运动，证明是周期性的，它一而再、再而三地重复，说明地球不会冲撞太阳或者跑到无穷远去，所以是稳定的;第三部分试图论证方程周期解的存在，指出怎样把有关变量展开成一个无穷级数，而此级数的每一项都是时间的周期函数。这种方法形式上似乎可行，但是可能靠不住，所以他说“剩下的就是证实这一级数的收敛性”。但他并没有去作这个证明，而是换了个角度看此问题，他创造了一种后人称之为“庞加莱截面”的方法用来论证和判别周期运动(图4－3)。

图4－3　庞加莱截面

他的基本思想是这样的:稳定性要求运动的物体必须不断重复它的运动状态，也就是说，某一特定时刻物体的位置和速度有确定的数值和方向，过了某一段时间后，它的位置和速度又精确地恢复到原来的数值和方向上，因而运动必须是周期性的。设想一颗地球的卫星，你为了考察它的运动是不是周期性的，你不必始终跟踪它，而是用望远镜之类的探测器，扫过一个平面，令此平面从地心沿地球半径一直延长到与卫星轨道相交，这是一个地球截面。卫星隔一段时间穿过该截面一次，有一个交点。记下首次穿过时的位置、速度的数值和方向。往后只在卫星穿过截面时进行观测和记录即可。如果运动是周期性的，那么它始终必以同样的速度在同一方向从同一点穿过该截面。简单的周期轨道，如圆轨道或椭圆轨道，穿过截面正好是一个点，即不动点;比较复杂的周期轨道，在回到第一个交点之前可以穿过截面好几次有好几个交点，并且重复这种循环。

庞加莱在找不到定量解的情况下，偏离了前人的研究道路，转向这种定性的研究方法，它的最大优点是，摒弃了许多迷惑人的枝节而抓住了动力学方程组的本质特性，而且可以用来处理多个方程的系统。尽管它实际上并未攻克国王初设的难题，但因他创造性的研究深受评判者们的赏识，还是获得了由奥斯卡二世颁发的奖金。

然而，庞加莱对科学事业的伟大贡献，远不止于此一点点。