首页 理论教育 系统状态讲安定

系统状态讲安定

时间:2022-02-13 理论教育 版权反馈
【摘要】:在上一章我们已经见到了确定性的系统出现了混沌,我们感兴趣的一个问题是,如何由确定性的状态走到了混沌的状态,即通向混沌的机制是什么?由于状态量不再变动,所以定态又叫做不动点。系统的定态即不动点有的是稳定的,即受到小的扰动后能保持定态,叫平衡态;有的是不稳定的,受扰动后不再保持。看来,μ0=1是个使不动点变更稳定性的转折点,叫做临界点。

系统状态讲安定

在上一章我们已经见到了确定性的系统出现了混沌,我们感兴趣的一个问题是,如何由确定性的状态走到了混沌的状态,即通向混沌的机制是什么?还是先从确定性状态的性质谈起吧。任何系统的演化,最开始阶段都是暂态过程,好像人的幼儿时期,还未成熟;人们关心的是系统的定态过程,因为它经过一段时间的演化“成熟”了,能代表系统自身的特性。所谓定态,就是无外界干扰的情况下,描述状态的量不再变动的状态。对逻辑斯蒂方程来说,就是当xn进入定态时,其后各代的xn+1,xn+2…都与xn相同了。由于状态量不再变动,所以定态又叫做不动点。定态的性质不仅跟描述系统的函数形式有关,而且与参数密切相关。

逻辑斯蒂方程可写为:

img15

其中f(μ,xn)是xn的二次函数。在直角坐标系中,若横坐标记为xn,纵坐标记为xn+1,上式的函数关系是条抛物线。尽管(2.1)的f(μ,xn)都代表抛物线,但不同的μ值,抛物线的形状是不同的,μ值越大,抛物线的单峰越尖锐(图2-1),a、b分别代表两条μ值不同的曲线。f(μ,xn)在xn=img16处取最大值img17(这可以由求极值的方法得到,读者不妨一试)。为保证f(μ,xn)的值不超过1,所以只有μ≤4才有意义。

img18

图2-1 函数的曲线

我们先讨论满足xn+1=xn的定态,即

img19

这个一元二次方程很容易解出,它有两个根(不动点),用ζ*表示为:

img20

为保证第二个根也有意义,要求μ≥1。

系统的定态即不动点有的是稳定的,即受到小的扰动后能保持定态,叫平衡态;有的是不稳定的,受扰动后不再保持。不稳定的不动点虽然也是数学方程的解,但是物理上往往无法观察到它,计算机画出的图形上也无法显示出来。所以,我们只关心那些稳定的状态(不动点)。判别不动点是否稳定,有个很简单的判据:如果不动点处函数f(x)的斜率的绝对值小于1,则此不动点是稳定的;如果此斜率的绝对值大于1,则此不动点是不稳定的。用k表示函数f(x)在不动点处的斜率,则稳定的不动点满足。

img21

对于我们讨论的具体例子是[1]

img22

可见,不动点的稳定性与参数μ的值有密切关系。下面分别讨论:

(1)在0<μ<1区间,可以判别出:

对于img23=0,是稳定的;

对于img24=1img25,是不稳定的。

而且在此区间ζ变为负值,不符合xn的取值范围,所以在0<μ<1区间只有一个稳定的状态,不管初始值如何,迭代的最终结果都收敛为img26=0。

若要使img27变为稳定的,必须满足:

img28

img29

图2-2 时系统有一个稳定态

(2)在1<μ<3的区间,ζ虽然变为稳定的,而ζ又成了不稳定的。看来,μ0=1是个使不动点变更稳定性的转折点,叫做临界点。所以,在1<μ<3区间也只有一个稳定的状态img30。图2-2中绘出了当μ=2.707时,f(x)的变化情况。横坐标N为迭代次数。实线、虚线分别代表从两个不同的初始值开始最终演变成同一定值。

(3)当μ>3之后,条件(2.5)也不满足了img31也不稳定了。所以,μ1=3是另一个转折点(临界点)。

免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。

我要反馈