理论，以及概念

上一节的深刻议论和问题涉及全部数学甚或全部科学。本节概述一些对数学哲学来说更狭窄的议题。典型的情况是：在遇上那些全局议题之前，哲学家不会在这些局部问题上走得太远。

一组议题涉及尝试解释特殊的数学或科学结果。在某种程度上，涉及数学应用的问题属于这一组。一个数学定理能告诉我们关于科学所研究的自然世界的什么呢？在什么程度上我们能证明有关纽结、桥的稳定性、象棋的终局，以及经济形势的事情？有些哲学家把数学看作不过是用符号进行的无意义的游戏（见第6章），但所有其他人都认为数学有某种意义。这种意义是什么呢？它又与日常的非数学话语的意义有何关系呢？一个定理能告诉我们关于物理世界，关于人类的认识能力，关于程序计算机的理论上的能力，以及诸如此类东西的什么呢？

潜在地，数理逻辑的某些结果有着哲学的后果。令T为一形式数学的理论并且令M为一个数学结构，就像是自然数或实数。如果理论T在模型M中为真，我们就称M是T的一个模型。紧致性定理和洛文海姆司寇伦（Löwenheim-Skolem）定理涉及某一类理论，称为“一阶的”。这些结果蕴涵着：如果这样的一个理论有无穷模型，则对任意无穷基数κ，这个理论有一个尺度恰为κ的模型。这就可以推出存在一阶实分析和一阶集合论的模型，其尺度为自然数。尽管有以下事实：一个属于乔治·康托（Georg Cantor）的定理说存在比自然数更多的集合，更多的实数。不唯如此，自然数的一阶理论，有时称为“一阶算术”，还有比自然数集合更大的模型。存在一阶算术的模型，其大小为全体实数。这个令人迷惑的情形称为“司寇伦悖论”，它以逻辑学家陶拉尔夫·司寇伦的名字命名。悖论是从似是而非的一些前提推出真正的矛盾，在这个意义上它不是悖论。从技术上讲，当我们注意到像“尺度为自然数”这样的概念在不同的结构中有不同的情况时，悖论的色彩就被扫除了。一个给定的结构能够满足这样一个公式：某个集合比自然数集合大，即使这个集合（从不同的结构来看）的元素并不比自然数多。

尽管如此，司寇伦悖论仍是令人感兴趣的，有些哲学家和逻辑学家认为它有哲学上的后果，这个后果涉及人类刻画和交流各类观念的能力，这些观念包括自然数、实数、集合，甚至基数。我们有关于这些观念的确定而不含混的概念吗？如果有，我们如何把握这些观念并且如何同别人谈论它们？洛文海姆司寇伦定理暗示着我们关于这些概念和对象所说的任何东西都可翻译到一个理论中，而后者有着非预期的解释。那么，我们如何能确定其他人理解的是我们想要他们理解的东西？我又如何知道我自己对这些事项有着毫不含糊的概念呢？确实，关于理解和交流，存在着更一般的哲学问题，但司寇伦悖论进入哲学后，给这些问题带来特别的关注。司寇伦（例如 1922，1941）自己把这个结果解读为实质上表明了所有数学观念根本上是“相对的”。他的解读是什么意思还未完全确定，但其想法似乎是，对于自然数和基数之类不存在绝对的、独立的（或客观的）观念。换句话说，司寇伦认为有穷的或自然数尺度的集合也不是绝对的，而只是相对于某些论域或模型是有穷的或为自然数尺度的。更为晚近的时候，希拉里·普特南（Hilary Putnam）（1980）以这些和数理逻辑的其他结果为基础，论证了一种类似的相对性。司寇伦普特南（Skolem Putnam）相对性是一种意义深远的本体论反实在论，因为这种观点蕴涵着一个给定的数学理论，如算术或实分析，并没有一个确定的研究对象。因此，数学词项没有固定的指称。

不管怎么理解它，大多数哲学家反对司寇伦式的相对性。仔细研究一下洛文海姆司寇伦悖论会发现，它们没有排除自然数、有穷性以及诸如此类观念的绝对性、客观性。不过，这些定理确实表明，如果存在这样的绝对观念，则它们不能被一阶形式理论把握。任何关于这些观念的一阶理论，如果它有无穷模型，就有使这些观念出错的非预期的模型。有些哲学家回应说非形式的数学比一阶模型论的表达力更强、更确定。这一应招留下一个问题就是，自然数、有穷以及等等的非形式观念又是如何被理解和交流的？上述一阶语言确实指称有穷、自然数等绝对观念，那样的话，非形式数学话语的语义学是什么？这种指称是如何得到的？洛文海姆司寇伦定理对所谓的“二阶”形式语言和语义学不成立，所以也许它们才为理解和交流提供了正确的图景。然而，不管二阶语言是否能够，或者如何能够被理解和交流，都会爆发激烈的争论，想避开这个问题非常困难。

另外一些富有哲学意义的数学结果的例子是集合论中大量的独立性结果。策梅罗弗兰克尔（Zermelo Fraenkel）集合论再加上选择公理，称作ZFC，是最强大的数学理论，这是大家的共识。本质上全部现有的经典分析、实分析、复分析、泛函分析等等都能呈现于集合论的语言中，并且这些领域的全部定理都能在ZFC中证明。可是数学家已经证明很多有趣的重要的数学问题不能由ZFC的公理判定。这中间最著名的就是康托的连续统假设。如前所述，实数比自然数多是一个（ZFC中的）定理。连续统假设断言的是不存在无穷的基数严格处于这两个尺度之间。换句话说，连续统假设就是说没有这样的集合，它是严格大于自然数的集合同时又严格小于实数的集合。连续统假设及其否定都不能在集合论的标准公理化中证明。

这一独立性对数学概念说明了什么呢？我们还能提供其他种类的相对性吗？我们只能相对于集合论的一种解释或扩张才能确定一个集合的尺度吗？有些哲学家认为不存在有关连续统假设或实数集合“尺度”的事实层面的东西，这对其他独立性命题也成立。这些哲学家认为关于数学真理存在不确定性，因此他们是真值反实在论者。

这一问题在数学实践中也有体现。如果数学家站在真值实在论者一边，认为连续统假设有确定的真值，他可能会尽力去确定这个真值。在这种情形下，一个哲学难题决定着这样一个数学家采用的方法论。即使ZFC有很强的表达力，好像也并不存在令人信服的证明，因为这样的证明必须援引没有被ZFC把握的概念或原则。另一方面，如果一个数学家认为连续统假设没有确定的真值，那么，她会自由地采用或放弃它，其根据则是什么能生出最方便的集合论。实在论者所采取的判定连续统假设的标准是否不同于反实在论者采取的断定什么是最方便的理论的标准，这还不是很清楚。一个自然主义者，像麦蒂（1988），以考察集合论学家涉及独立性结果的实践开始其哲学工作。

第三个例子是哥德尔的著名的不完全性定理。令T为算术的一个公理化。假设T是可行的（effective），意思是存在一个机械过程来确定T所在语言中的一个语句序列是否是T中的一个推导。粗略地说，不完全性定理蕴涵着：如果T足够丰富，那么存在一个T所在语言中的句子Φ，使得Φ及其否定都不能在T中推导出来。换句话说，T不能判定Φ。

一个真值反实在论者可能论证说，不完全性结果证实至少有些算术命题缺少确定的真值，但是这个论证要预设到达真理的唯一路径是在一个固定可行的演绎系统中的证明。关心算术的真值实在论者则把不完全性定理解释为：这表明不存在一个可行的公理化，其定理恰好是所有算术真理。这个结果暗示真理比任何给定的演绎系统所能证明的都多。当然，对于实在论者来说仅仅这样说还不够。他的任务是要说明算术真理如何组成以及算术真理如何超出形式推演。

顺便要说一下，考察一下不完全性定理的证明会显示那个不可判定的句子Φ对自然数是真的。初看起来，对形式上不可判定的句子，我们有一个非形式的证明。所以实在论者会认为算术中可证明的要比在任何固定的形式公理化中可推导出的要多。

有些哲学家以不完全性定理来拒绝机械论，后者是以下这样的论题：人类心灵像一台机器那样运行。如果我们近似地把一台机器的输出和一个可行演绎系统的定理等同起来，并且我们将其足够地理想化，则不完全性定理就表明算术真理和非形式算术的可证性都超出了一部机器能生成的东西（见Lucas 1961和更晚近的Penrose 1994）。哥德尔自己得出一个谨慎的结论说：或者心灵不是机器，或者存在“绝对不可判定的”算术问题，这类问题即使在原则上也不能为我们人类所回答。然而，这些思想家的论证没有被广泛接受。尤德森·韦伯（Judson Webb）（1980）则以不完全性定理来支持机械论。

另外一类问题包括表达和解释特定数学理论和概念的尝试。一个例子是几何、算术和分析中的奠基性工作。有时候，这类活动对数学自身也有衍生的影响，因此质疑并模糊了数学及其哲学之间的界限。一些有趣而强有力的研究技术常常是在由数学各领域间建立联系的奠基性工作中提出的。例如，考虑一下显示于解析几何中的实数和空间中的点之间的联系，这对什么是一个点或什么是一个实数阐述些什么呢？通过解析数论，也存在复数到平面的嵌入和自然数到复平面的嵌入。这类奠基性活动在对基本的本体论问题有所澄清外，还产生了数学的整个分支。

有时候数学中的发展导致有关一个特定概念是什么的不清晰性。著名的是，那些引领分析基础的工作导致了对什么是一个函数的不清晰性，最终产生出函数的现代概念：任意的对应（相对于一个公式或规则）。而真正的数学方法论和数学的逻辑处于危险中。另一个例子则是拉卡托斯（Lakatos）（1976）对历史的重构说明，一系列的“证明和反驳”留下了关于什么是一个多面体的有趣而重要的问题。这个问题至少部分是本体论的，涉及各种数学对象和概念的本质。

这一组问题强调了数学哲学的解释本性。眼下的工作是弄清一个给定的数学概念是什么，以及一段数学话语说了些什么。例如拉卡托斯的研究开始于一个“证明”，其中包括一个思想试验，在这个试验中，一个多面体的一面被去掉，然后把剩余部分拉伸到一个平面上，然后再画线、切割，并且移走各个部分——在这个过程中保持某些量不变。这个过程令人信服并且是有证明的味道，但如何理解这一明显动态的话语还根本不清楚。这里的语言不能轻易嵌入当代逻辑论述的模式之中。这段话语的逻辑形式是什么？它的逻辑是什么？它的本体论是什么？多数后来的数学/哲学著作只忙于解决这些问题。

更紧密地靠近主流，考虑微积分和实分析的基本语言。表层语法会暗示表达式“dx”是一单独词项，就像一个代词或专名，指称一个对象。但是，要经过相当的数学发展才能看出“dx”不指称任何东西。它没有独立的意义。可是，表达式“dx/dy”是一个单独词项并且确实指称某些东西——一个函数，而不是一个商。分析的历史表明，说清类似表达式的含义是一项多么漫长而曲折的任务。

当然，没有这些哲学解释工作，数学也经常能发展得很好，而且有时候解释的工作虽很不成熟，但最多不过是一种消遣。贝克莱针对分析的著名的、逻辑上的一针见血的批评在数学家中很大程度上被漠视——只要他们知道了“如何继续”，就像维特斯根坦可能会说的。在当前的语境下，问题是数学家是否必须停止数学研究直到其话语的语义学工作全部完成？当然不是。然而，有时候数学内在的张力导致了解释性的哲学/语义学工作。有时候数学家不能确定如何“像从前一样继续”，她也不确定这些概念是什么。况且，我们从不能确定这一解释性的计划是准确无误的，是完备的，没有其他问题埋伏在前方。

[1]　有些本体论问题涉及像数字这样的语言项。有些哲学家认为它们是抽象的、永恒的，不受因果律制约的对象，非常像本体论实在论者说的数。这种意义上的数字称为型（type）。相反，数字的像（token）是物理对象——墨迹、墨粉等等，是型的例证。与型不一样，像可以随意创造与毁灭。由于我们的唯名论者在有关数学的本体论方面是反实在论的，她必须否认型的客观存在。这个问题下面还会多次提到。

[2]　即希腊文的Eidos，过去英译常作“idea”，中文常作“理念”。本书英译为“Forms”，我们也就译为“相”，是根据王太庆先生的译法。——译者

[3]　中译用加点的方式标识大写的Platonism。——译者

[4]　斯坦纳（1978）在通过运用数学对物理现象的解释和特殊的数学解释之间做了区分。