每个“如果”里是什么

在这一章里，我们会致力于讨论我在前一章中简要提到的逻辑算子——条件句。还记得吧，一个条件句就是一个具有“如果a，那么c”形式的句子，我们用符号a→c来表示。逻辑学家把a称作条件句的前件，把c称作条件句的后件。我们在前面也同时注意到，关于条件句最基本的推理是“假言推理”：a，a→c/c。条件句对许多推理来说都是至关重要的。前一章只不过举了一个例子而已。不过，条件句却很令人迷惑不解。逻辑学自创立之初就开始研究条件句了。实际上，据一位古代评论家（卡利马丘斯）声称，就连屋顶上的乌鸦也曾经沙哑地嚷嚷着条件句。

我们来看一下为何条件句是令人迷惑不解的（至少找出其中的一个原因）。如果你知道了逻辑式a→c，那么你似乎可以推理得到﹁（a&﹁c）（肯定a同时否定c是不正确的）。比如，我们假设某人告诉你：如果你赶不上汽车，那么就会迟到。你可以根据这句话推理得到，你会赶不上汽车而又不迟到为假。相反，如果你知道逻辑式﹁（a&﹁c），你似乎就可据此推理得到a→c。比如，假设某人告诉你说，你去看电影不会不花钱（你去看电影而又不花钱为假）。你可以推理得出，如果你去看电影，你就会花钱。

逻辑式﹁（a&﹁c）常写成a c，被称为推论条件句。因此，a→c似乎与a c表达相同的意思。尤其是，如果采取第二章中的方法，它们必然具有相同的真值表。以下是我留给读者的一个简单练习，以表明这一逻辑式的真值情况：

但是这张真值表很奇怪。它表明，如果c在一个情形下（第一和第三行）为真，那么条件式a→c也为真。这似乎很难是正确的。比如，堪培拉是澳大利亚联邦的首都为真；但是条件句“如果堪培拉不是澳大利亚联邦的首都，那么堪培拉就是澳大利亚联邦的首都”很明显为假。这张真值表同样表明，如果a为假（第三行和第四行），那么逻辑式a→c也为真。但这也很难是正确的。条件句“如果悉尼是澳大利亚联邦的首都，那么布里斯班^[1]也是联邦的首都”很明显也为假。哪里出错了呢？

这些例证要证明的是，符号→不是一个真值函数：逻辑式a→c的真值不是由a和c的真值决定的。“罗马在法国领土之内”和“北京在法国领土之内”都为假，但是以下推理为真：

如果意大利是法国的一部分，那么罗马就在法国领土之内。

而下面的推理则是错误的：

如果意大利是法国的一部分，那么北京就在法国领之内。

那么，条件句是如何起作用的呢？

一种方法是使用前一章中所讲的可能世界。我们来看一下刚才讨论的两个条件句。在任何一个可能的情形下，意大利被并入了法国，罗马真的就位于法国领土之内。但是在很多可能的情形下，意大利被并入了法国，而这对中国一点影响也没有。因此，北京仍然不在法国领土之内。这表明，只要c在与s（a在此情形下为真）有关的每一种可能的情形下都为真，那么条件句a→c在s情形下就为真；并且如果c在与s（a在此情形下为真）有关的某种可能的情形下为假，那么条件句也为假。

这就给了符号→一个似是而非的解释。比如，它表明了“假言推理”为何是有效的——至少在一个假设上是如此。这个假设是把s看作是与s有关的一个可能情形。这似乎是合理的：任何在s情形下确实如此的事物肯定会是一种可能。现在，我们假设a和a→c在某个情形s下为真。那么c在所有与s（a在此情形下为真）有关的情形下都为真。但s也是其中的一个情形，且a在此情形下为真。因此，c也为真。

再回过头来看一下我们开始所讨论的论证，我们现在可以明白问题出在哪儿了。这个论证所依赖的推理如下：

这个推理是无效的。比如，如果a在某个情形s下为F，这就足以让推理的前提在s下为真。但这并未告诉我们任何关于a和c在与s有关的可能情形下的真值情况。很可能的情况是：在其中的一个情形下，比如说在s’情形下，a为真而c不为真，如下图所示：

因此，条件句a→c在s情形下不为真。

我们早些时候谈的那个例子——你被告之你去看电影不会不花钱的情况又是怎样的呢？难道在这种情况下的推理看起来无效吗？假设你知道你去看电影不会不花钱：﹁（g&﹁m）。你真的有权得出结论，如果你去看电影就会花钱：g→m？未必如此。假设不管怎样，即使晚上的电影免费你也不打算去看电影。（电视上有一个更加有趣的节目。）那么，你知道你会去不为真（﹁g），因此，你会去而且不花钱也不为真：﹁（g&﹁m）。那么你有权下结论说如果你去就得花钱吗？当然不会：那个晚上也许可以免费观看。

非常重要的是，要注意到，在你被告知之后才知道前提为真的情形下，其他因素通常也在起作用。当某人告诉你﹁（g&﹁m）这样的事情时，他通常是在不知道﹁g为真的情况下才这么做的。（如果他知道的话，告诉你与这种情形有关的任何事情都没有意义。）如果他告诉了你此事，那是建立在以下基础之上的：g和m之间存在某种关系，你不能在m不为真的情况下而让g为真——这正是认为该条件句为真的原因所在。因此，如果有人告诉了你前提，进行g→m的推理通常是合理的；不过，不是根据所说的内容进行推理——而是根据说话的事实进行推理。

实际上，我们经常不假思索地作出这样的正确推理。比如，假设我问一个人如何使用我的计算机，而他回答道：“书架上有一本用户手册。”我于是推理而知，那是一本计算机用户手册。这不是根据实际所说的话推理出来的，但是除非那本用户手册是一本计算机用户手册，否则这句话就与我的问话毫不相干了，而人们通常都说相关的话。因此，我可以得出结论，根据他们说话这一事实可知这是一本计算机用户手册。这种推理不是一个演绎推理。毕竟，那个人可以说这句话，但指的并非是一本计算机用户手册。不过，这个推理仍然是一个非常好的归纳推理，是常被称作会话含义的一种推理。

我们刚才对于条件句的解释似乎进展顺利——至少就我们的讨论来看是这样的。不过，它也存在许多问题。以下就是其中的一个问题。请看下面的推理：

如果你去罗马，你就会置身于意大利。

如果你置身于意大利，你就会置身于欧洲。

因此，如果你去罗马的话，你就会置身于欧洲。

图7过早地下判断。

如果x大于10的话，那么它就会大于5。

因此，如果x大于10而又小于100的话，那么它就会大于5。

这些推理显得非常有效，而且根据本章的讨论也是如此。我们可以将第一个推理用公式表示如下：

为了表明它是如何有效的，我们假设这两个前提都在某个s情形下为真。那么，在每一种与s（a在此情形下为真）有关的可能情形下，b都为真；同样，在每一个b为真的情形下，c都为真。因此，在a为真的每一个情形下，c也都为真。也就是说，a →c在s情形下是正确的。

我们可以将第二个推理用公式表示如下：

为了表明它是如何有效的，我们假设前提在某个s情形下为真。那么，在每一个与s（a在此情形下为真）有关的可能情形下，c都为真。现在假设a&b在一种相关情形下也为真，那么a在那个情形下肯定也为真，因此c也肯定为真。因此，结论（a&b）→c在s下也为真。

到目前为止，一切论证都很顺利。但问题是，有许多形式上与之完全相同的推理，却似乎是无效的推理。比如，我们假设一次首相选举中只有两位候选人，在任首相史密斯和琼斯。现在来看下面这个推理：

如果史密斯在选举前死了，那么琼斯便会赢得选举。如果琼斯赢得选举，那么史密斯便会退休，领养老金过活。因此，如果史密斯在选举前死了，那么史密斯便会退休，领养老金过活。

这完全是形式1的一种推理。但是很显然，会存在一个情形，在此情形下这两个前提都为真。可结论则不为真——除非是在某个异乎寻常的情形下，政府会在人死之后继续发放养老金！

或者来看一看下面这个关于史密斯的推理：

如果史密斯从一个很高的悬崖顶上跳下，她会摔死。因此，如果史密斯从一个很高的悬崖顶上跳下并打开随身携带的降落伞，她会摔死。

这是形式2的一种推理。不过，很显然，也存在许多前提为真但结论不为真的情形。

人们对此状况将会作何解释呢？请读者自己思考吧。尽管条件句对大多数推理的进行至关重要，但它们却是逻辑学最有争议的领域之一。即便鸟儿不再沙哑地嚷嚷着条件句，逻辑学家肯定还在为此争论不休。

本章要点

·只要b在每一个与s（a在此情形下为真）有关的情形下都为真，那么a →b在s情形下就为真。

【注释】

[1] 布里斯班：澳大利亚港市，为澳大利亚昆士兰州首府。