随着卫生设施的改善，医疗水平的提高及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制.但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来，20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来了极大的危害.长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等，一直是有关专家关注的一个热点问题.
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识.在这里不可能从医学角度一一分析各种传染病的传播特点，而只能是按照一般的传播机理来建立数学模型.
首先介绍一个最简单的传染病模型.设时刻t的病人人数x（t）是连续、可微函数，并且每个病人每天有效接触（足以使人致病的接触）的平均人数是常数λ.考查t到t+Δt这段时间内病人人数的增加，于是就有如下表达式：
再设t=0时，有x0个病人.并对上式取Δt→0时的极限，得如下微分方程：
模型表明，随着t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的.上述建模失败的原因是：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人.所以在下面改进的模型中必须区别这两种人；人群的总人数是有限的，不是无限的.并且随着病人人数的增加，健康人的人数在逐渐减少.因此，病人的人数不会无限地增加下去.
为了改进上述模型所存在的缺点，作如下修改：
假设在疾病传播期内所考查地区的总人数不变，既不考虑生死，也不考虑迁移.人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人.并记时刻t这两类人在总人数N中所占的比例分别为s（t）和i（t）.每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率.当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人.
根据上述假设，每个病人每天可使λs（t）个健康者变为病人.因为病人人数为Ni（t），所以每天共有λNs（t）i（t）个健康者被感染.于是λNs（t）i（t）就是病人人数Ni（t）的增加率，即有如下模型：
这时病人增加得最快，可以认为是医院门诊量最大的时刻，预示着传染病高潮的到来，也是医疗卫生部门关注的时刻.tm与λ成反比，因为日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高.所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.当t→∞时，i→1.即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况.其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者.
为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，在下面的模型中将讨论病人可以治愈的情况.有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性.于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人.
每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ，称为日治愈率.病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/μ是这种传染病的平均传染期.模型修正为：
可以得到模型的解表述如下：
定义σ=λ/μ，注意到λ和1/μ的含义，可知σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.利用σ，模型可改写为：
接触数σ=1是一个阈值.当σ＞1时，i（t）的增减性取决于i0的大小，但其极限值i（∞）=
随着σ的增加而增加；当σ≤1时病人比例i（t）越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内健康者变成病人的人数不超过原来病人数的缘故.
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统.这种情况比较复杂，下面将进一步分析这一分析过程.
假设在疾病传播期内所考查地区的总人数不变，既不考虑生死，也不考虑迁移.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者，三类人在总人数中占的比例分别记作s（t），i（t）和r（t）；病人的日接触率为常数λ，日治愈率为常数μ，传染期接触数为σ=λ/μ.
由假设可知s（t）+i（t）+r（t）=1.对于病愈免疫的移出者而言应有如下表达式：
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0＞0）和i0（i0＞0），且不妨假设移出者的初始值r0=0，则得如下微分方程模型：
上式即为所要建立的数学模型，由于方程无法求出s（t）和i（t）的解析解，因此只能采用数值计算（具体应用时可使用数学软件来完成），也可以在相平面s-t上讨论分析s，t之间的关系.
在模型中σ=λ/μ是一个重要参数，由于方程模型无解析解，因此λ，μ都很难估计.而当一次传染病结束后，可以获得s0和s∞，这时可采用下式对σ进行估计.
当同样的传染病到来时，如果估计λ，μ没有多大变化，那么就可以用上面得到的σ分析这次传染病的蔓延过程.
在各类实际问题中产生的微分方程模型，其中大部分微分方程是无法求得解析解的只能采用数值解，而求数值解必须给定各种参数，在Matlab软件中有专门求解的命令，例如对上述微分方程组我们可以编写如下Matlab程序：
首先编写M-文件
function y=ill（t，x）
a=1；b=0.3； %给定方程中的参数λ=1、μ=0.3
y=［a*x（1）*x（2）-b*x（1），-a*x（1）*x（2）］′；
在command window窗口输入
st=0∶30；
x0=［0.02，0.98］； %给定方程中的初值i（0）=0.02，s（0）=0.98
［t，x］=ode45（′ill′，st，x0）；［t，x］
plot（t，x（：，1），t，x（：，2）），grid，pause
plot（x（：，2），x（：，1）），grid运算后得到t，i，s的一组数据（共31组）及i（t），s（t）的图形，见图8-1和图8-2.
ans=
0 0.0200 0.9800
1.0000 0.0390 0.9525
2.0000 0.0732 0.9019
…………………………
28.0000 0.0028 0.0402
29.0000 0.0022 0.0401
30.0000 0.0017 0.0401
图8-1 i（t），s（t）图形
图8-2 i—s 图形（相轨线）
例8-1 SARS传播问题——CUMCM2003
严重急性呼吸道综合征，俗称：非典型肺炎（Severe Acute Respiratory Syndrome，SARS）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病.SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性.请对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：
（1）对提供的一个早期的模型（原题附件中给出），评价其合理性和实用性.
（2）建立模型，说明为什么优于早期的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施作出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计.
【解题思路】
基于微分方程的思想，把整个社会看成一个系统，在SARS流行期间，死亡的人、已经康复的患者（不再可能再次感染）就看成是已经退出了系统.而对于被隔离起来的患者和疑似病人也不再具有传染能力，也就不再是传染源.并且将政府等方面采取的措施融合在了一起，体现于方程的各等量关系中，于是提出这个模型：
记时刻t健康人和病人在总人数N中所占的比例分别为s（t）和i（t）.每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ1，假设每个病人每天可使λ1s（t）个健康者变为病人，因为病人人数为Ni（t），所以每天共有λ1Ns（t）i（t）个健康者被感染，于是λ1Nsi就是病人数Ni的增加率，又因为每天被治愈率为μ，死亡率为η，所以每天有μNi个病人被治愈，有ηNi个病人死亡.那么病人的感染为：
由于s（t）+i（t）+r（t）=1，对于退出者：dr/dt=iψ，其中ψ为所有退出者比例之和.即ψ=μ+η.故SARS 患者率模型一的方程建立如下：
与前面同样的分析，得到疑似患者率模型：
其中参数的含义如下，l（t）为t时刻疑似病人的比例.
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