第6章 概率类数学模型
随机现象在现实世界中无处不在，每年的全国数学建模竞赛中或多或少都会涉及一些随机性问题，全部或部分地需要利用概率统计知识去建立模型；现实世界中也存在着大量的概率类和统计类的数学建模问题.对一类随机问题的处理有一些经典处理方法，它要求参赛者在掌握这些方法的前提下，分析具体问题选择所适用的数学方法对问题进行分析处理建立数学模型.本书将概率类模型专题作为第6章，在本章中主要展示了几种不同的处理随机问题的方法：随机问题转化为确定性问题、可靠性分析法、时间序列法等，旨在帮助大家了解不同背景下各种方法的应用.
在许多涉及随机现象的优化问题中往往可以利用数学期望把随机性问题转化为确定性问题，考虑平均意义下的最优化问题.例如：姜启源《数学模型》（第三版）第9章中的几个模型；在1997年全国大学生数学建模竞赛中的A题“零件的参数设计”；1999年全国大学生数学建模竞赛的A题“自动化车床管理”等都部分地利用了这方法.
例6-1 零件的参数设计——CUMCM1997
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数.零件参数包括标定值和容差两部分.进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围.若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值.在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍.
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差.这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高.试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法.某参数y由7个零件的参数x1，…，x7决定，经验公式可以如下表示：
y的目标值y0=150，当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1000；当y偏离y0±0.3时，产品为废品，质量损失为9000.零件参数的标定值有一定的容许变化范围分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%，B等为±5%，C等为±10%.7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本如表6-1所示.
表6-1 零件成本表
现进行成批生产，每批产量1000个.在原设计中，7个零件的标定值分别为：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=1.6，x7=0.75；容差取最便宜的等级.请综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较总费用降低了多少.
【解题思路】
显然这是一个优化问题，目标函数应为成批生产时（平均每件）产品的质量损失与零件成本之和，决策变量是零件的标定值和容差.可以合理地假设零件参数是相互独立的随机变量，从而产品参数y=f（x1，x2，…，x7）是随机变量x1，…，x7的函数，它也是一个随机变量.
在大批量生产时，产品的质量损失费用常常可以用损失函数L（y）的数学期望值来度量，也就是考虑平均意义下每件产品的损失费用，它取决于零件参数的标定值x0和容差t，可记为：Q（x0，t）=E［L（y）］.
由题意可知：零件成本只取决于容差，第i种零件的成本记为Ci（ti），则零件总成本为
.于是该优化问题的目标函数可表示为：
而对损失函数L（y），根据题意可以合理地假设为二次损失L（y）=k（y-y0）2，其中k=105.这也是一个最常用的损失函数.
通过把随机损失函数L（y）转化为确定性的损失函数Q（x0，t）后，该问题就转化成为对目标函数Z（x0，t）在相应约束条件下求其最优解的问题.
而对这样一个确定性的优化问题，我们可以利用第5章介绍的方法来进一步求解，但是大家很容易看出目标函数Z（x0，t）是一个相当复杂的函数式，要直接求解是很困难的，这就需要对目标函数进行简化.当然主要是对损失函数Q（x0，t）进行简化，而进行简化的方法有多种，最简单也最常用的方法就是利用泰勒公式进行一次（线性）或二次近似简化处理.
例6-2 零件的预防性更换
在生产设备中长期运行的零部件，会发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失.如果在零件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，即做这种预防性更换的时间如何确定呢？
【解题思路】
显然，解决这个问题的关键在于恰当地估计零件能够正常运行的时间，简称为零件的寿命，寿命是一个随机变量.通过对已知试验数据的统计处理和理论分析，一般可以确定零件寿命服从的分布函数和平均寿命等数字特征.
下面先介绍两个基本概念和几种常见的连续型寿命分布，再讨论零件的预防性更换问题.
可靠度和失效率：随机变量X表示零件的寿命，其分布函数F（t）=P（X≤t）表示零件寿命不超过时间t的概率（即在时刻t之前失效）.X的概率密度记为f（t），寿命大于t的概率记为R（t），即R（t）=P（X＞t）=1-F（t），称为零件的可靠度.显然有R（0）=1，R（∞）=0.按照定义和简单的推导，平均寿命即X的期望为：
.
设零件运行到时刻t仍然正常，则它在（t，t+Δt）内失效的概率可以表示为：
定义
，称为失效率，是一个条件概率密度.当Δt很小时，r（t）Δt表示零件在t以前正常运行条件下，在（t，t+Δt）内失效的概率.典型的失效率曲线呈浴盆形状，一般分三个阶段.第Ⅰ阶段是早期失效期，主要由材料或工艺制造上的缺陷引起，应通过检验剔除一批不合格品，待零件渡过这一阶段后再投入运行；第Ⅱ阶段为偶然失效期，r（t）基本上保持不变，是零件的最佳使用阶段；第Ⅲ阶段是老化失效期，由于磨损、老化等原因失效率迅速上升，应采取维修或更换等手段维持设备的正常运行.
指数分布是常用的寿命分布：设失效率r（t）为常数λ，即当零件正常运行到t时刻后，在（t，t+Δt）内失效概率为λΔt，与t无关.那么用r（t）=λ代入可得如下微分方程：
零件寿命X称为服从参数λ的指数分布，它最重要的性质是“无记忆性”.
预防性更换策略：设某零件寿命X的分布函数F（t），平均寿命为μ.若零件发生故障后更换带来的损失为c1，未发生故障而采取预防性更换的费用为c2，显然应c1＞c2.所谓预防性更换策略是指确定一个时间T，当零件寿命X＞T时进行故障后更换，当X≤T仍然正常时进行预防性更换（假定更换所需时间忽略不计），使得长期运行时的经济损失最小.这是一个随机优化问题，目标函数取为单位时间的平均损失.零件每更换一次称为一个周期，周期的平均长度为：
，一个周期内的平均损失是：c=c1F（T）+c2［1-F（T）］.
通过简单的求导运算可以推出使（T）取极小值的T 应满足：
其中R为可靠度，r为失效率.进而讨论上述方程在什么条件下有解及怎样求解，记
.显然h（0）=0.又因为平均寿命
，并且
.用h（0），h（∞）和
的结果，可以得到如下的结论：若r（t）为增函数且μr（∞）＞c1/（c1-c2），则存在唯一的有限的T使（T）达到最小，且（T）=（c1-c2）r（T）.
例6-3 自动化车床管理——CUMCM1999
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其他故障仅占5%.工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同，工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障.现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如表6-2所示.现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具.已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用200元/件；进行检查的费用为10元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用为3000元/次（包括刀具费）；未发现故障时更换一把新刀具的费用为1000元/次.
（1）假定工序故障时产出零件均为不合格品，正常时产出零件均为合格品.试对工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略.
（2）如果工序正常时产出零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出零件有40%为合格品，60%为不合格品.工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次.对工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.
（3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益.
表6-2 100次刀具故障记录（完成的零件数）
【解题思路】
对问题的分析：由于发生故障后进行调节所花费的费用为3000元，大于未发生故障而更换新刀具的费用1000元.所以，如果在故障发生前进行预防性更换，可以取得较好的经济效益.具体做法为：确定一个合适的时间T，当出现故障的时间间隔X＞T时进行故障后更换；当X≥T时车床仍正常工作时进行预防性更换，使得长期运行时经济损失最小.零件检查的时间间隔应根据故障出现的概率分布来确定，在出现故障概率很大时检查时间间隔要短一些，出现故障概率小时检查时间间隔要长一些.对于本问题失效率r（t）为单调增函数，即随着时间的推移，工序发生故障的概率越来越大，因此零件检查时间间隔应该逐步缩短.在问题（1）中只需检查一个零件，即可确定工序运行的正常与否；而在问题（2）中，工序正常时产出的零件不全是合格品，故必须对多个零件进行统计分析才能作出判断.故不妨在每次检查时取距此时刻最近生产的M个零件作为样本.具体做法为：确定一个阈值N，当样本不合格数小于N时，就认为工序正常；反之认为工序不正常.显然，这样做会出现误判情况，通常把工序正常而误判为不正常的情况称为“弃真”，其概率记为P1；反之称为“取伪”，其概率记为P2.而阈值N的选取应使两种误判的概率都尽量小.
首先需要恰当地选择出现故障间隔时间X的概率分布，可以根据具体数据情况选择适当的分布（如正态分布），这里选择威布尔（Weibull）分布，然后由所给数据利用矩估计或极大似然估计确定参数并进行检验，通过计算可以得到X的概率分布函数是：F（t）=1-
，其中λ=0.00158；α=3.355.
这里只对问题（1）进行讨论，车床一次连续运行是指从某一次更换新刀具开始，一直到某次检查发现故障或刀具的预防更换期限为止.这里包括确定刀具的预防性更换周期和零件检查时间间隔，显然这是一个随机优化问题，总体目标函数可以取为这样一次连续运行的总费用（包括零件损失费、检查费、更换刀具费用与车床调整费用）的期望值最小.根据前例的讨论，直接利用上面的公式及X的概率分布，可求解得到刀具的预防性更换周期是401.
下面讨论零件检查时间间隔的确定：记检查时间的间隔为s（t），它可以分为等间隔和非等间隔两种情况，当然非等间隔情况优于等间隔.
如若故障是在时间段［t，t+Δt］（t＜T）内发生，假设在相邻两次检查之间出现故障的时刻是等可能的，即故障在检查时间间隔s（t）内呈均匀分布.因为均匀分布的均值等于分布区间的一半，所以带故障运行时间为0.5s（t），则损失费为100s（t），检查费用为
，出现故障后刀具更换费用与车床调整费用为3000元.若故障在［0，T］内未发生，则检查费用为
，预防性更换刀具费用为1000元.
综上所述，一次连续运行的总费用的期望为：
显然，总费用C（s（t））是s（t）的一个泛函，现在的问题是求一个函数s（t），使总费用达到最小，这是一个泛函极值的问题.可以利用求泛函极值的方法求得函数s（t），此时的检查时间间隔是非等间隔的.如果对此问题作简化处理，把检查间隔取为等间隔的，即认为s（t）与时间无关，那么这就是一个普通的函数极值问题.利用大家熟悉的求函数极值的方法即可求得检查间隔.
即等间隔时的检查间隔为15.
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