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等可能概型

时间:2022-02-12 理论教育 版权反馈
【摘要】:在某些随机试验中,我们常假设样本空间中样本点出现的可能性相等。求第k次摸到红球的概率。解法1 假设我们视n次摸出的球号的先后排列为一个样本点,则样本空间中共有n!将所有礼物集中放在一起,然后让每个同学随机地取一件,求没有人取到自己礼物的概率。如果将先后取到的礼物的编号(即排列)作为一个样本点,例如,表示n人都取到了自己的礼物,那么共有n!个样本点,由题意知出现每一个样本点的概率相等。

在某些随机试验中,我们常假设样本空间中样本点出现的可能性相等。例如,抛硬币试验,S={正面,反面},我们常假设出现正面与反面的概率相等。

定义1.3.1 一个随机试验,如果满足下面两个条件;

(1)样本空间中样本点数有限(有限性);

(2)出现每一个样本点的概率相等(等可能性)。

则称这个试验问题为古典概型,又称等可能概型。

若设一等可能概型的样本空间为,则由定义1.3.1知。任一随机事件。由样本点两两不相容的性质,知

这就是说,在等可能概型中,任一事件A的概率为

因此,在古典概型中,求随机事件概率的问题就可以转化为数样本点数的问题,这常要用到组合数学

例1.3.1 从一付牌(去掉两个王,共52张)中随机取两张,求“恰是一红一黑”的概率。

 设A={恰是一红一黑}。

(1)>若是不放回抽样(即第一次抽出1张,不放回,再抽第二张),则

(2)>若是放回抽样(即第一次抽出1张后,放回,再抽第二张),此时的样本空间为

例1.3.2 (抽签问题)袋中有编号为1,2,…,nn>1)的n个球,其中有a个红球,b个白球(abn)。从中每次摸一球,不放回,共摸n次。设每次摸到各球概率相等。求第klkn)次摸到红球的概率。

 设Ak={第k次摸到红球},k=1,2,…,n。

解法1 假设我们视n次摸出的球号的先后排列为一个样本点,则样本空间中共有n!个样本点。由题意知,出现每一个样本点的概率相等,而第k次为红球共有an-1)!个样本点。所以

解法2 若我们n个同学去摸球,我们只关心哪几个同学摸到红球为试验的结果,即假设视“哪几次摸到红球”为样本点,则样本空间总样本点数为由题意知,出现每一个样本点的概率相等。如果Ak发生,即第k次一定为红球,只要在余下的(n—1)次中决定(a—1)次就行。故

解法3 若视第k次摸到的球号为样本点,则样本空间中共有n个样本点,其中有a个样本点使得Ak发生,故

以上三种方法计算得到:在抽签问题中,第klkn)次摸到红球的概率与k无关。

例1.3.3 (配对问题)一个小班共有n个学生,分别编上1,2,…,n号,在中秋节前每人做一件礼物相应地编上1,2,…, n号。将所有礼物集中放在一起,然后让每个同学随机地取一件(即,每次取到每一件礼物是等可能的),求没有人取到自己礼物的概率。

 先求“至少有一个人拿到自己的礼物”的概率。设

由概率的加法公式,得

如果将先后取到的礼物的编号(即排列)作为一个样本点,例如,(1,2,•••,n)表示n人都取到了自己的礼物,那么共有n!个样本点,由题意知出现每一个样本点的概率相等。当Ai发生时,即i号配对其余(n—1)个号可以任意的排列,故

n充分大时,上式的值近似于

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