共轴球面系统的作用矩阵

4.1.3　共轴球面系统的作用矩阵

共轴球面系统对光线的变换作用是由其结构决定的，因而系统的作用矩阵是由对应于系统结构的各折射矩阵与传递矩阵的乘积决定的。

以厚透镜为例（见图4.1），透镜对光线的变换作用，是将透镜前表面上P₁点处的入射光线，变换为后表面上P₂点处的出射光线。因此，定义透镜的作用矩阵为（以M₂₁表示）

应该注意的是，矩阵相乘的次序从概念上讲，应该是先T₂₁·R₁，然后再R₂（T₂₁·R₁）。在实际运算中，由于矩阵乘法满足结合律，因而可以改变结合相乘的先后次序，这对乘积矩阵（亦为二阶方阵）的结果没有影响；但是，切忌交换各相乘矩阵的相对位置。因为，矩阵乘法一般不满足交换律。

将式（4.16）按矩阵乘法展开，得到

上式中若令：

代入式（4.17），则得到透镜作用矩阵的简略表达形式：

由式（4.18）～式（4.21）可以看出，透镜作用矩阵的各元素a、b、c、d是透镜结构参数r（决定各面的光焦度）、d、n的函数。因此，透镜的高斯光学性质（如透镜的焦距和基点位置等）即由a、b、c、d所决定，通常称之为高斯常数。对高斯常数意义的进一步分析见4.2节。

由于透镜作用矩阵中的每个折射矩阵和传递矩阵的行列式值均为1，根据矩阵乘积的行列式值等于各个矩阵行列式乘积的性质，应有透镜作用矩阵的行列式值等于1。即

式（4.23）为我们提供了检验透镜作用矩阵正确与否的快速而有效的方法。上式还表明，在四个高斯常数中只有三个是独立的；通常，我们以a、b、c作为研究对象。

在建立了透镜作用矩阵的基础上，透镜在P₂点的出射光线与P₁点的入射光线之间的变换关系可以表为矩阵方程的形式：

其对应的线性方程组为

如果给定l₁、u₁，则将h₁=l₁u₁代入式（4.26），可求得u₂＇、h₂＇，进而求出像距：

将上述透镜作用矩阵的有关概念扩展至由K个折射面组成的共轴球面系统的作用矩阵，应有

即系统的作用矩阵应由系统第1面至第K面的所有折射矩阵与传递矩阵按顺序相乘得到；并且同样满足bc－ad=1。显然，其a、b、c、d的具体组成与单一透镜是不同的。

系统最后第K面的出射光线与第1面入射光线间的关系，以矩阵方程表示，应有

下面举例说明系统作用矩阵的计算。

［例4.1］已知一负弯月透镜其结构参数如下，求其作用矩阵与各高斯常数。

r₁=5（cm），　r₂=2（cm），　　d₁=3（cm）；

n₁=1.0，　　　n₁＇=n₂=1.5，　n₂＇=1.4。

解：此透镜为同心的负弯月透镜，由具体结构所决定的光焦度等计算如下：

将以上各值代入（4.16）式，然后按矩阵乘法展开，得到

求得高斯常数：a=0.06，b=1.1，c=0.8，d=－2。

校核：detM₂₁=bc－ad=1.1×0.8－0.06×（－2）=1，表明计算正确。

计算透镜的作用矩阵也可按式（4.17）的结果直接代入计算：

表明对于单透镜两种计算方法结果一致。但应指出，对由多个折射矩阵和传递矩阵相乘决定的系统作用矩阵，只能按矩阵乘法依次展开的方法来计算出最终二阶方阵的各高斯常数。