英国学派和数学物理学

帕斯卡正确地认为，心智的广博性作为一种官能，在许多透彻的几何学研究中起作用；更明确地讲，它是纯粹代数学家的天才的有特色的品质。代数学家不涉及分析抽象的概念和讨论普遍原理的精密范围，而只涉及按照固定的法则娴熟地组合像他写东西那样能够描绘的记号。为了成为一位伟大的代数学家，几乎不需要任何理智力量；心智的巨大广博性就足够了，因为代数运算技巧不是理性的赠品，而是想象官能的增色。

因此，注意到代数技巧在英国数学家当中十分广泛地流传，是用不着大惊小怪的。这似乎不仅表现在十分伟大的代数学家在英国科学家中所占的数目上，而且也表现在英国人偏爱各种形式的符号运算上。

就这个问题再说明一下。

心智不具有广博类型的人能玩比国际象棋更好的西洋跳棋游戏。事实上，无论何时他想玩跳棋着数的组合，他在他的支配中具有的要素将只是两种：单一的棋子和王，二者都按照十分简单的规则走棋。相反地，国际象棋的战术组合了像棋子种类一样多的不同基本走法，其中一些走法——例如马的走棋方式——是复杂的，足以使脆弱的想象官能手足无措。

西洋跳棋和国际象棋游戏之间的差别，在全部法国科学家使用的古典代数和在十九世纪创造的各种符号代数之间的差异中再现出来。古典代数仅由几种基本的操作构成，每一个用特定的符号表示，每一个都是十分简单的操作；复杂的代数运算只是这些几乎不变的基本操作的漫长系列，或者只是这几个记号的冗长运作。符号代数的目标是缩短这些运算的长度。为达此目的，它使其他操作贴近古典代数的基本操作，它把前者作为基本的操作看待，用特殊的符号表示，其中每一个操作都是按照固定的法则由从旧代数借用的操作招致的组合和浓缩。在符号代数中，你能够几乎同时实现在旧代数中由冗长系列的中间运算构成的运算，不过你将不得不使用数量庞大的不同种类的记号，每一个记号都服从十分复杂的法则。你不是玩西洋跳棋，你将玩一种国际象棋，其中许多截然不同的棋子在走动，每一个都有它自己的路数。

很清楚，对符号代数的品味是心智的广博性的指标，我们可以预期它在英国人中是极其广泛流行的。

如果我们把自己局限于只是简短地评论创造出这样的运算系统的数学家的话，那么英国天才预先倾向于浓缩的代数运算也许被确定地公认是如此与众不同。英国学派会骄傲地引证哈密顿构想的四元数计算，但是法国却以柯西的关键论（theory of keys）与之匹敌，而德国人则用格拉斯曼（Grassmann）的外延论（Ausdehnungslehre）与之较量。我们不必为此而惊奇，因为广博的心智在每一个国家都可以找到。

但是，只是在英国人中，如此频繁地发现心智的广博性是地方特有的、传统的习惯；例如，只是在英国科学人（men of science）中，符号代数、四元数计算和“矢量分析”是习以为常的，大多数英国专题论文使用这些复杂的和速记的语言。法国和德国的数学家未准备学习这些语言；他们从未成功地流利讲它们，尤其是从未成功地用构成这些语言的形式直接思考。为了追踪以四元素或“矢量分析”的方法为基础的运算，他们不得不把它翻译为古典代数的版本。一位法国数学家保罗·莫兰（Paul Morin）在最彻底地研究了符号计算的不同类型后，曾经告诉我：“在我用我们旧有的笛卡儿代数检验四元数方法之前，我从未确信用它得到的结果。”

因此，英国物理学家频繁使用不同种类的符号代数，成为他们的心智广博性的证据，但是即使这种使用把特殊的外衣给予他们的数学理论，它也没有把特定的相貌给予该理论本身的真正本体；脱去它的外衣，我们能够容易地给这个理论穿上古典代数风格的衣服。

现在，在许多情况下，衣着的这种变化几乎不足以掩饰数学物理学理论的英国起源，不足以把它错认为法国或德国的理论。相反地，这种变化容许人们辨认，在物理学理论的结构中，英国人并非总是像大陆科学家那样把相同的作用赋予数学。

对于法国人或德国人而言，物理学理论本质上是逻辑体系。十分严格的演绎把处于理论基础的假设和从它可以导出的、必须与实验定律比较的推论联合起来。如果代数运算介入，那只是为了使把推论与假设关联起来的三段论链条更精巧、更容易掌握；但是在健全地构成的理论中，永远也不应该忘记代数的这种纯粹辅助的作用。我们必须始终意识到用纯粹逻辑推理代替运算的可能性，而代数只是纯粹逻辑推理的速记表达而已；为了这种代替可以尽可能精确、尽可能确定的方式进行，就必须在用符号代数结合的符号或字母和物理学家度量的性质之间、在作为分析出发点的基本方程和处于理论基础的假设之间，建立十分精密的和十分严格的对应。

比如，法国或德国的数学物理学的奠基者拉普拉斯、傅里叶、柯西、安培、高斯、弗兰茨·诺伊曼（Franz Neumann）们，都极其谨慎地建造桥梁，打算把理论的出发点、它必须处理的量的定义、将承担它的演绎通向的道路——它的代数展开将沿着这条道路前进——之假设的辩护关联起来。那些绪论、明晰的模型和方法由此而来，他们的大部分专题论文是以这一点开始的。

要在英国作者的著作中寻找致力于建立物理学理论的方程的这些导言，几乎总是枉费心机。考虑一个引人注目的例子。

在安培创造的导体电动力学中，麦克斯韦添加了新的电动力学，即介电体的电动力学。这一物理学分支是考虑本质上全新的要素的结果，该要素被称之为位移电流——该名称在这里是不恰当的。

麦克斯韦引入这种位移电流，为的是完善在给定瞬时电介质性质的定义，这些性质并非由该瞬时已知的极性全部决定，正如把传导电流添加到电荷上，以便完善导体的可变化的条件的定义一样。位移电流与传导电流具有某些密切的类似，但同时也具有某些深刻的差异。由于插入这个新要素，79电动力学陷入无序之中；甚至经验从未提示的、只是在二十年后才由赫兹发现的现象竟被宣告是存在的。我们看到电作用在非导体介质中传播的新理论的萌芽，这个理论导致光现象的未曾料到的诠释，即导致光的电磁理论。

我们当然期望，在麦克斯韦极度谨小慎微地定义和分析这样一个原来显示出这样多产的、惊异的和重要的推论的新颖而意料不到的要素之前，他不会把它引入他的方程。但是，打开麦克斯韦陈述他的电磁场新理论的学术论文，你将发现仅有两行文字为把位移电流引入电动力学方程而辩护：

“应该把电位移的变化添加到电流中，以便得到电的合运动。”

我们怎样才能说明这种几乎完全缺乏定义——即使当它是一个最新奇的和最重要的要素的问题——和这种对建立物理学理论的方程漠不关心呢？答案对我们来说似乎是不容置疑的：法国或德国的物理学家想用理论的代数部分正好代替为展开这个理论而使用的三段论系列，而英国物理学家则认为代数起模型的作用。它就是想象可以达到和服从代数法则的记号发挥功能的机械装置；它或多或少忠实地模拟所研究的现象的定律，就像按照力学定律运动的不同物体的机械装置模拟现象的定律一样。

因此，当法国或德国物理学家引入容许他用代数计算代替逻辑演绎的定义时，他必须极其小心地去做，否则就要受到丧失他在他的三段论中必须要求的严格性和准确性的惩罚。另一方面，当W. 汤姆孙为现象群提供力学模型时，他并没有把任何十分详尽的理性论据强加于他自己，以便在这种具体物体的机械和要求他描述的物理学定律之间建立关联；对想象来说，模型唯一关切的将是图样和被描绘的对象之间相似的独有的判断。这就是麦克斯韦所做的事情。对想象官能的直觉来说，他留下把物理学定律与必须模拟它们的代数模型加以比较的任务。他没有等待这一比较，他遵循这个模型的操作，并把电动力学方程组合起来，其目的往往不在于物理学定律在他的每一个组合中的协调。

法国或德国物理学家十分经常地为这样的数学物理学概念仓皇失措。他没有认识到，他在他面前所拥有的一切是用来满足他的想象而非他的理性的模型。他坚持在代数变换中寻找从明确阐述的假设到经验可证实的推论的演绎系列。由于没有找到它们，他忧虑地疑惑，麦克斯韦理论实际上相当于什么。对此，一位理解英国数学物理学家心智的人回答，在麦克斯韦那里，没有类似于人们寻找的物理学理论的东西，而只有被组合和被变换的代数公式。赫兹说：“对于‘麦克斯韦的理论是什么’这个问题，我无法给出比下述回答更清楚、更简短的回答：‘麦克斯韦的理论是麦克斯韦方程组。’” ^[64]