自然界的数学化

物理学是研究最普遍的运动形式和基本结构的科学，而数学则是研究现实空间形式和数量关系的科学。虽然它们研究的对象各不相同，但却有着共同的目的——探索和研究自然界的有关规律，并在实践中加以运用。这就使二者之间产生了必然的联系。

纵观物理学与数学的发展历程，它们是在相互影响、相互促进中发展起来的。正如物理学家杨振宁指出的：“可以用两片生长在同一根管茎上的叶子，来形象化地说明数学与物理之间的关系。数学与物理是同命相连的，他们的生命线交接在一起。”一方面，数学为物理学提供了科学的思想和方法；另一方面，物理学不仅是评价数学的重要标准之一，而且为数学的许多学科提供了研究的内容，如常微分方程理论、偏微分方程等，变分法和复变函数等学科也缘于对物理问题的研究。物理学同其他学科一样，是由于数学化思想的引入，才使得它向着科学化、精确化的方向发展，数学对物理学理论的形成起着非常重要的作用。笛卡尔宣称，科学的本质是数学，一切现象都可以用数学描写出来。甚至我们完全可以这么说：没有数学，就没有严谨的物理理论；没有数学，“物理就是虚幻的和空洞的”。

一、经典物理学的数学化

经典力学体系的创立主要与三个人物有关——开普勒、伽利略和牛顿。

开普勒的主要贡献在天体力学方面，他发现了行星运动三定律，即椭圆定律、周期定律和等面积定律。开普勒是用数学化方法研究天体运动的成功者之一。他对地球及行星轨迹的决定方法，创立了宇宙空间的三角测量方法。开普勒还创立了一种可贵的数学化方法，即无限小量的求和方法，并把它运用到了求体积方面。

伽利略的贡献主要在地上力学方面，他对经典力学的创立做了先导性的基础工作，如他通过实验得出了自由落体定律、惯性定律和运动的叠加原理，并首先提出了力学的相对性原理等。更为可贵的是，伽利略在研究落体运动的数量关系的过程中，开创了物理科学数学化思想，使得数学史无前例地与实验精神相结合，创造了研究物理世界的新方法——科学实验、逻辑实验和数学化方法。可以说，是在伽利略物理科学数学化思想的指引下，物理学才从定性的描述阶段进入到了定量的分析和计算阶段，从而迅速发展成为一门精密的定量科学。

牛顿在综合、归纳、总结和发展开普勒的天体力学和伽利略的地上力学的基础上，把经典力学发展成为一个完整的理论体系。1687年，他的 《自然哲学的数学原理》出版。牛顿按照欧几里得几何学的形式，通过规定一套基本概念 （如时间、空间、质点、动量、力）等，提出了物体运动三定律和万有引力定律，建立起一套完整的力学体系。牛顿力学的创立，标志着经典力学体系的完成。

经典力学体系的形成，依赖于两个方面的努力：一是在物理内容上建立机械论的世界图景；二是寻找统一的数学工具。这两方面是相辅相成的。牛顿坚信自然界是用数学设计的，没有理由不按照数学家搞数学的程序去进行科学研究。牛顿运动定律以及万有引力定律一起构成了经典力学的理论基础，显然，这都是在数学化思想指导下建立起来的。牛顿既是质点力学理论的集大成者，对机械论世界图景的建立起了决定性的作用；又是微积分这种伟大数学工具的发明者，这是继解析几何之后数学领域的最大成就。正是由于牛顿能够在这两个方面同时作出划时代的贡献，并使两者有机地结合起来，所以他实现了力学理论的数学化，实现了天上运动和地上运动的理论综合。笛卡尔和牛顿相反，他建立了一幅以太旋涡运动的机械论世界图景，但他无法用数学形式工具把这幅图景描绘出来，并加以精确的运算和实验，所以他的理论纲领未能实现而最终归于失败。

牛顿理论纲领的核心是，把动力学系统的最一般的变化归结为质点位置的变化。牛顿以后，欧拉、达朗贝尔、伯努利等人发展了分析力学，使力学理论建立在更加严密的逻辑基础上。他们之所以对函数的最一般概念进行了长期的讨论，正是为了解决上述核心问题。分析力学、力学运动方程的哈密顿形式、最小作用量原理等，为经典物理学的理论综合提供了最理想的数学工具。

19世纪非欧几何学的诞生引起了新的争议，对牛顿的研究纲领提出了尖锐的挑战。究竟物理运动的最普遍形式是机械的位移，还是应包括物质客体所在空间的一定变化？在牛顿纲领看来，一切变化的基础是质点的机械运动，运动物体所在的空间则是绝对空间，它谈不上什么变化。如果这种观点是最终的真理，那么物理学在19世纪就达到终点了。当然，物理学家们不能设想物理学的命运就此终结。但要突破牛顿纲领，就需要寻找新的数学结构，它既能描述物体的运动，又能描述物体所在空间的运动。用物理学的语言来说，新的理论及其数学形式结构对于空间应当为协变的。这种新的物理学纲领在19世纪末20世纪初获得了突破，这就是相对论和量子论的诞生。

二、爱因斯坦的物理学理想

用几何化的方法实现物理学的统一，是爱因斯坦的物理学理想。这个过程已经走了两步：第一步是狭义相对论的建立，解决了经典力学同电磁学的矛盾，从而把物理学这两个最重要的部分统一起来。从数学形式来看，其关键就在于由三维欧式空间过渡到四维闵可夫斯基空间。第二步是广义相对论的建立，它实现了引力的几何化。为了描述物理客体的引力状态，爱因斯坦运用了黎曼空间形式结构，即在空间每一点的领域引进了普适的、任意弯曲的空间构造。在这里，爱因斯坦彻底运用了19世纪伟大数学家的思想：物理理论的抽象数学结构变化的最普遍形式，不仅是质点运动轨迹的变化，而且也是包含这些质点的整个空间的度量性质的变化。1919年日全食的观察证实了广义相对论的推测：光线在太阳近旁经过时会发生一定大小的偏折。

广义相对论创立之后，爱因斯坦又开始向两个方面探索，即宇宙学和统一场论。爱因斯坦在追求世界统一性思想的支配下，认为广义相对论没有把电磁场包括在内是一个缺陷。于是，在广义相对论创立不久后，他就开始了创立统一场论的工作。他试图把广义相对论加以推广，建立一个包括引力场和电磁场在内的统一的新理论。他认为这是继狭义相对论、广义相对论之后相对论发展的第三个阶段。爱因斯坦坚持不懈地研究探索了近40年，直到他生命的终结，他渴望创立统一场论的工作也没有取得成功。这使得一些物理学家认为，当爱因斯坦孤单一人在他后半生埋头于统一场论的研究时，从他身边奔驰而过的却是量子力学、量子场论、原子物理学、原子核物理学、粒子物理学和固体物理学的时代洪流。也有一些爱因斯坦的老朋友为他脱离了物理学发展的主流而深感惋惜。但是，爱因斯坦本人却始终认为，他对统一场论的探索是有意义的。他常用德国诗人和启蒙运动思想家莱辛 （1724—1781）的一句格言来自我安慰：“对真理的追求要比对真理的占有更为可贵。”

20世纪中叶以来，在发现核内、基本粒子之间的强相互作用力与弱相互作用力之后，人们也曾循着爱因斯坦物理学几何化的纲领，企图建立引、弱、电、强四种相互作用力统一的超引力理论。这些努力至今还没有取得成功。在这种情况下，有些物理学家开始怀疑物理学几何化的努力方向，把它看作是 “病态物理学”方向。也许，把物理学几何化的方向绝对化，和把物理学几何化的方向看作是病态方向，这两种观点都有片面性。很可能 “几何化”这个大方向还有生命力，但空间几何形式的变化很可能不限于度量形式的变化这一种。由欧式空间到黎曼空间，再到闵可夫斯基空间，确实是在空间度量形式变化这种特定的几何化方向上实现的，它们具有相同的拓扑结构。但是，难道这是空间几何形式变化的唯一途径吗？很可能不是，空间还可能有拓扑形式或其他形式的变化。近年来有人提出，电磁现象同空间的拓扑结构的变化联系着，如新电荷的产生对应于上同调群的变化。此外，数学形式结构的变化也不会完全局限于 “几何化”的范围。

三、微观领域和生命领域中的数学应用

量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱。许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其他相关的学科，都是以量子力学为基础。量子力学是在20世纪初由马克斯·普朗克、尼尔斯·玻尔、沃纳·海森伯、埃尔温·薛定谔、沃尔夫冈·泡利、路易·德布罗意、马克斯·玻恩、恩里科·费米、保罗·狄拉克等一大批物理学家共同创立的。通过量子力学的发展，人们对物质的结构及其相互作用的见解被革命化地改变。

量子力学的建立，不但实现了宏观物理规律与微观物理规律的理论综合，而且实现了化学和物理学的理论综合。或者说，量子力学本身的建立就是传统物理学和传统化学的综合。如果没有化学关于化学元素的大量研究资料，就不可能产生量子数的概念，尤其是不可能形成泡利原理。门捷列夫的元素周期律在量子理论的确立中也起了重要作用。事实上，周期律以十分浓缩的编码形式，集中了实验化学工作者几千年来的成果。

量子理论以它特有的方式：波函数ψ、哈密顿算符H、薛定谔方程和希尔伯特无穷维抽象空间等形式化理论，以更加浓缩的编码形式吸收了各门科学中一切最重要的成果。从抽象的数学结构通过一系列中间环节最后到达普通欧式空间上的投影，则提供了实际应用和实践检验的可能性。

然而，基本粒子领域中的新事实，打破了在原有数学结构的基础上把相对论和量子力学综合起来的期望。似乎不引进本质上是新的、更加抽象的数学形式结构，就不可能实现这种综合。例如有人证明，仅仅使用希尔伯特空间结构，原则上得不出基本粒子的质量谱。

在生命领域，数学也获得了广泛的应用。现代生物学的发展同数学的结合越来越紧密，要解决生命系统组织、发育、进化等机制的数学模拟问题，很可能要创造新的数学工具。20世纪中叶以来，耗散结构理论、信息论、突变理论、全息理论、重演理论等，都为解决这个问题提供了新的手段。在此基础上，生命科学或理论生物学的数学化问题，也就有了获得解决的可能。如果再考虑到社会系统，其复杂性又将超过生命系统。相应地，其数学化将有特殊的难处，但仍是可以期待的。