微弱扰动在可压缩流体中的传播

上节通过研究微弱扰动在长直圆管中的一维传播过程，初步探讨了微弱扰动波的传播特征，给出了微弱扰动波波速—音速的计算公式，给出了马赫数及亚音速、音速和超音速流动的概念。本节将进一步研究微弱扰动波在可压缩流体空间中的传播规律，讨论马赫数及亚音速、音速和超音速流动的特性。

假定空间中某点有一个微弱扰动源，在气体等静止的可压缩流体中静止不动或作直线等速运动时，所发出的微弱扰动波在空间传播过程中，将反映不同的流动特性。下面分四种情况予以讨论。

9．2．1　微弱扰动源静止不动(v=0)

这时，静止的微弱扰动源所发出的微弱扰动波是以球面波的形式向四周传播，也就是说受扰动的气体与未受扰动的气体的分界面是一个球面，波速为音速c，如图9-3所示。图9-3中圆心为静止的微弱扰动源，三个同心圆分别表示微弱扰动波在第一秒末、第二秒末和第三秒末所到达的位置。如果不考虑气体的粘性损耗，随着时间的延续，这个扰动波将传遍整个流场。图8-9(a)也给出了这种情况的示意图。

9．2．2　微弱扰动源以亚音速作直线等速运动(v＜c)

如图9-4所示，微弱扰动源以v的速度向左移动。这时，移动的微弱扰动源发出的微弱扰动波仍然是一系列的球面，以音速c向四周传播，球面中心是微弱扰动源发出扰动波瞬间所处的位置。由于扰动波已离开了扰动源，这个瞬时中心是静止的，不随微弱扰动源的移动而改变位置。如图9-4给出了t=3s末时扰动波的传播图。图中圆心0、1、2、3为时间t=0s、1s、2s、3s末，微弱扰动源所处的位置。在t=0s末，处于圆心0处的微弱扰动源发出的扰动波，在t=3s末时，到达了以圆心0为中心、半径r=3c的球面处;在t=1s末，微弱扰动源移动到了圆心1的位置，此时微弱扰动源发出的扰动波在t=3s末时，到达了以圆心1为中心、半径r=2c的球面处;在t=2s末，微弱扰动源移动到了圆心2的位置，此时微弱扰动源发出的扰动波在t=3s末时，到达了以圆心2为中心、半径r=1c的球面处;在t=3s末，微弱扰动源移动到了圆心3的位置。从图9-4可见，扰动波始终走在扰动源的前面，也就是说在扰动源还没有到达以前，气体就已被扰动了。如果不考虑气体的粘性损耗，在一定的时间后，这个扰动波将传遍整个流场。因此，当物体以亚音速运动时，该物体所产生的微弱扰动波可以到达空间中的任何一点。

图9-3　扰动源静止不动

图9-4　扰动源以亚音速运动

如果采用动坐标，即坐标建立在微弱扰动源上，图8-9(b)可以看作微弱扰动源不动，气体以v＜c的速度自左向右流动的扰动波传播图。由于气体具有速度v，则扰动波在顺流和逆流方向上不对称。顺流方向微弱扰动波的绝对速度为v+c;逆流方向微弱扰动波的绝对速度为v－c＜0，即扰动波仍可逆流传播。从扰动波传播图8-9(b)来看，点3为微弱扰动源所在的位置，微弱扰动源所产生的扰动波，部分被运动的气体带向下游，即形成一整套偏心圆簇。这种气体的流动为亚音速流动。

9．2．3　微弱扰动源以音速作直线等速运动(v=c)

如图9-5所示，微弱扰动源移动到了圆心3的位置，微弱扰动源以v=c的速度向左移动。这时，移动的微弱扰动源发出的微弱扰动波以音速c向四周传播，形成一系列的球面。同前述的亚音速运动，球面瞬时中心是微弱扰动源发出扰动波的瞬间所处的位置，如图9-5的圆心0、1、2等。由于v=c，则微弱扰动源和向左运动的波以相同的速度前进，微弱扰动波到达的地方也是微弱扰动源到达的地方。如图9-5所示，在t=0s末时，处于圆心0处的微弱扰动源发出的扰动波，在t=3s末时形成了以圆心0为中心、半径r=3c的球面，左边的球面到达了点3的位置;在t=1s末，移动到圆心1处的微弱扰动源发出的扰动波，在t=3s末时形成了以圆心1为中心、半径r=2c的球面，左边的球面也正好到达了点3的位置;以此类推，在t=2s末，移动到圆心2处的微弱扰动源发出的扰动波，在t=3s末时形成了以圆心2为中心、半径r=c的球面，左边的球面也刚好到达了点3的位置。另一方面，移动的微弱扰动源经过圆心0、1、2等，在t=3s末也正好到达了点3的位置。若延长观测时间，点3处则为无数扰动波球面的相切点，在该切点将出现一个分界面。该分界面前面的气体是未被扰动的，称为寂静区域;而分界面后面的气体则是被扰动的。可以说当物体以音速运动时，该物体所产生的微弱扰动波只能向下游传播，不能向上游传播。

图9-5　扰动源以音速运动

当采用动坐标，微弱扰动源静止不动，气体以v=c的速度自左向右流动。这时，顺流方向微弱扰动波的绝对速度为v+c=2c;逆流方向微弱扰动波的绝对速度为v－c=0，即扰动波在逆流方向的传播速度为零。这就是说，处于点3的微弱扰动源发出的微弱扰动波只向下游方向传播，完全不向上游方向传播，这就形成了如图8-9(c)所示的传播图。这种气体的流动为音速流动。

9．2．4　微弱扰动源以超音速作直线等速运动(v＞c)

如图9-6所示，微弱扰动源以v＞c的速度向左移动。这时，移动的微弱扰动源发出的微弱扰动波以音速c向四周传播，也形成一系列的球面。同前述的亚音速运动，球面瞬时中心是微弱扰动源发出扰动波的瞬间所处的位置，如图9-6中的圆心0、1、2、3等。由于v＞c，微弱扰动源向左移动的速度大于扰动波向左运动的速度，也就是微弱扰动源将走在所发出的微弱扰动波前面。如图9-6中，圆心0、1、2、3和点4为微弱扰动源在t=0s、1s、2s、3s、4s末所处的位置，在这些位置所发出的扰动波分别为以上述圆心为中心大小不一的球面。由图9-6可见，在t=4s末时，微弱扰动源在t=0s、1s、2s、3s末时所发出的扰动波的球面均未到达点4。这就是说，点4前面的(左边)气体是未被扰动区域，微弱扰动波的影响范围只在点4的后面(右边)。注意到不同时间扰动波的传播界面——球面，将形成一个公切圆锥面。这个公切圆锥面，将成为一个被扰动与未被扰动的分界面。圆锥面外为不受微弱扰动波扰动影响的寂静区域，圆锥面内则为受微弱扰动波扰动影响的区域。这个分界面被称为微弱扰动波面，又称马赫锥，t=4s末扰动源所在的点4为锥顶。马赫锥的顶角，即圆锥的母线与运动方向的夹角称为马赫角，用α表示。即

图9-6　扰动源以超音速运动

由式(9-9)可见，马赫角α的大小由马赫数Ma所决定。马赫数Ma越大，则马赫角α越小;反之马赫数Ma越小，则马赫角α越大。当Ma=1时，α=90°，为马赫锥的极限位置，就是图9-5所示的分界面，所以该切面也可以称为马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已无界，不存在马赫锥，则式(9-9)无意义。

现采用动坐标，即微弱扰动源静止不动，气体以v＞c的速度自左向右流动。这时，顺流方向微弱扰动波的绝对速度为v+c＞2c;逆流方向微弱扰动波的绝对速度为v－c＞0。这就是说，微弱扰动源发出的微弱扰动波全部向下游方向传播。如图8-9(d)所示的传播图，处于点4处的微弱扰动源，所发出的球面波，整体向下游传播，随着时间的推移，球面波的影响范围越来越大，这就形成了如图9-6所示马赫锥形的影响区域。也就是说，在超音速流场中，微弱扰动只能在马赫锥内部传播，绝不可能传播到扰动源的上游或马赫锥以外的区域。这种气体的流动称为超音速流动。

总的来说，亚音速流动和超音速流动的主要区别在于:在亚音速流场中，微弱扰动波可以逆流向上游传播，扰动可以达到全流场，扰动区域是无界的;在超音速流场中，微弱扰动波不能逆流向上游传播，扰动只能在马赫锥内传播，扰动区域是有界的。由于两者的流动有本质的不同，它们的解法有本质的区别。

日常生活中有类似例子。老远能听到嗡嗡声的飞机一定是亚音速飞机。超音速飞机只有在掠过观察者的头顶后才可以听到。幸亏汽车的速度远低于音速，如果汽车的速度达到或超过音速，则汽车撞上行人之前，行人是绝对不知道的。