模糊集与模糊逻辑

模糊集理论（fuzzy set theory）是一种指明一个事物在多大程度上满足一个模糊描述的方法。例如，考虑一个命题：“Nate个子高”。如果Nate身高5英尺10英寸（大约为1.78米——译者注），这个命题还是真的吗？大部分的人都不愿意直接回答“真”或者“假”，而宁愿说“差不多”。注意这不是关于外部世界的不确定性的问题——我们对Nate的身高其实是非常有把握的。问题在于语言词汇“高”并不代表能将所有的对象分成两类的一条清晰界线——高度本身是具有程度的。由于这个原因，模糊集理论根本不是一种进行不确定性推理的方法。更确切地说，模糊集理论将 Tall（高）作为一个模糊谓词，规定Tall(Nate)的真值是介于0和1之间的一个数值，而不只是true或者false。名词“模糊集”来自于将谓词解释为隐含定义了其元素的集合——模糊集就是没有清晰边界的集合。

模糊逻辑（fuzzy logic）是一种使用逻辑表达式来描述模糊集合中的隶属关系的推理方法。比如复合语句 Tall(Nate)∧Heavy(Nate)的模糊真值是其各组成部分真值的函数。计算复合语句的模糊真值 T的标准规则有：

T(A∧B)=min(T(A),T(B))

T(A∨B)=max(T(A),T(B))

T(¬A) = 1 – T(A)

因此，模糊逻辑也是一个真值函数性系统—这是会引起严重问题的一个事实。例如，假设T(Tall(Nate)) = 0.6以及T(Heavy(Nate)) = 0.4。那么我们有T(Tall(Nate)∧T(Heavy(Nate)) = 0.4，这看来是合理的；但我们还得到结果 T(Tall(Nate)∧¬Tall(Nate))=0.4，这就不那么合理了。显然，问题来自于真值函数性方法没有考虑成分命题之间的相互关系或者反关系的能力。

模糊控制（fuzzy control）是一种通过模糊规则表示实值输入到输出的映射关系以构造控制系统的方法论。模糊控制在诸如自动传送、摄像机、电动剃须刀等的商业产品中获得了很大成功。一些批评家（参见例如 Elkan，1993）认为这些应用之所以能够取得成功，原因在于它们具有较小的规则库，没有链式推理，以及有很多可调节的参数，通过调整这些参数从而能提高系统的性能。它们所取得的成功与它们是通过模糊算子实现的这一事实之间其实并没有必然的联系，关键是要提供一种简单并且直观的方式来指定一个经平滑插值的实值函数。

曾有一些试图为模糊逻辑提供概率理论解释的努力。一种思想是将诸如“Nate个子高”这样的命题视为关于一个连续隐变量——即Nate的实际身高——的离散观察数据。这个概率模型指定了P(观察者认为Nate个子高|Height)，也许利用第14.3节中“包含连续变量的贝叶斯网络”一节里所描述的概率单位分布。可以通过按通常的方式计算关于Nate身高的后验分布，例如当这个模型是一个混合贝叶斯网络的一部分时。当然，这种方法不是真值函数性的。例如条件分布

P(观察者认为Nate高而且重|Height,Weight)

考虑到在造成观察结果的身高、体重之间存在着各种相互作用。因此，8英尺高、190磅重的某人不太会被称为“又高又重” ——即使“8 英尺高”可算作是“高”而“190 磅重”也可算作是“重”。

模糊谓词也可以从随机集（random set）——也就是，可能取值为对象集合的随机变量——的角度给出概率解释。例如，Tall表示一个随机集，其可能取值是由人所构成的集合。概率P(Tall = S1)，其中S1是由人组成的某个特殊集合，这个概率正是该集合被一个观察者确认为“高”的概率。于是，“Nate个子高”是所有包含Nate的集合的概率总和。

混合贝叶斯网络方法和随机集方法看来都能够在不引入真实度的情况下捕捉到模糊性的方面。无论如何，很多关于来自语言方面的观察和连续量的适当表示的开放问题仍然存在——对于模糊领域以外的人而言，这些问题一直是被忽略的。