发现和发明

在我们日常用语中，发现和发明的区别是十分清楚的，但是有些时候却有点模糊。没有人会说莎士比亚发现了哈姆雷特，或者说居里夫人发明了镭。针对特定类型疾病的新药通常被看做是发现，尽管它们通常涉及新化学成分的合成。这里我想举一个非常典型的数学例子，我相信它不仅能帮助我们区分发明和发现，还有助于我们深刻理解数学演化和发展的过程。

在欧几里得关于几何学的不朽名著《几何原本》第 6卷中，我们发现有一个定义涉及把一根直线确定地分为不等的两段（更早一些的类似定义是关于面积的，出现于第 2卷中）。根据欧几里得的观点，线段 AB被点C分为两段后（如图9-1所示），如果以C为端点的这两条线段的长度比（AC/CB），与整个线段长度除以以 C 为端点的较长线段长度的值（AB/AC）相等，那么这条线段就是符合“极端平均比例”的。换句话说，如果AC/CB=AB/AC，那么所有这种比例都称为“极端平均比例”。在19世纪时，这一比例被叫做“黄金分割率”，事实上后者要比前者更加有名。黄金分割率可用一个非常简单的代数表达式表示^［269］:

你也许要问的第一个问题是，为什么欧几里得要这么费事地定义这样一条特殊的线段，并且还专门给这个比例起一个固定的名字？毕竟，可以有无数种方式来分割一条线段。这个问题可以在继承自神秘的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派的文化中找到答案。回想一下，我在前面曾经提到过，毕达哥拉斯学派曾经痴迷于数字的研究。他们认为奇数代表男性和善，而同时略带偏见地认为偶数代表女性和恶。他们对数学5有特殊的兴趣，5是2和3的和，3是第一个奇数（男性），2是第一个偶数（女性）。（1并没有被认为是一个数字，它被当做所有数字的源头。）因在，在毕达哥拉斯学派眼中，5是爱情和婚姻的化身，并且还用五角星（如图9-2所示）作为他们之间兄弟情谊的象征。这也是黄金分割率第一次在历史上出现。如果你作出一个正五角星，并且仔细测量其中三角形任意一长边与底边的比值，你会发现这两条边之比恰好等于黄金分割比率（如图9-2中的a/b）。同样，五角星的边角线与其边之比也等于黄金分割比率（如图 9-3 中的c/d）。事实上，只用直尺和圆规就可以轻松地作出这样一个正五角星（这种尺规作图画出五角星的方法在古希腊时代就有记录），在作图过程中需要把一条线段分成两段，这个分割点也是满足黄金分割的。

图9-1

图9-2

在毕达哥拉斯之后，柏拉图又为黄金分割赋予了新的意义。古希腊人相信宇宙中的所有物质都是由4种基本元素组成：土、火、空气和水。在柏拉图对话录的《蒂迈斯》（Timaeus）中，柏拉图用 5 种符合对称规则的立体来解释物质的结构，它们通常被称为柏拉图立体（platonic solids）。这5种凸面立体是正四面体、立方体（正六面体）、正八面体、正十二面体和正二十面体，这些立体也是仅有的各面都是正多边形、面积都相等的立体（当然是针对每一个单独的立体而言），并且这些多面体每个面的所有顶点都在立体的表面。柏拉图把其中 4个立体与宇宙构成的 4种基本元素联系在了一起。例如，他认为土是立方体，火是正四面体，气是正八面体，水是正二十面体。关于正十二面体，柏拉图在《蒂迈斯》中写道：“对于剩下的第5种复合图形，上帝用它来代表全部，给它绣上精美图案。”也就是说，在柏拉图眼中，正十二面体代表整个宇宙。然而，请注意，正十二面体的每一个面处处都有黄金分割的影子，它的体积和表面积都可以用黄金分割率的公式来表达（正二十面体也是如此）。

历史表明，通过反复试验，毕达哥拉斯学派及其后来者发现了特定几何图形的构成方式。在他们看来，这些几何图形代表着一些重要的概念，例如爱和整个宇宙。那么，毫无疑问，正是他们（毕达哥拉斯学派）和欧几里得（他阐述了这一教义）发明了蕴含于这些结构之中的黄金分割的概念，并给它起了这个名字。与其他比率有很大不同，关于1.618……这个数字在众多历史文献中都有记载，它成了数学研究的中心，并且即使在今天，在一些人们意想不到的领域都能发现它的踪迹。例如，在欧几里得时代的两千年之后，德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现在斐波那契数列中，黄金分割比率竟然也神秘地出现了。斐波那契数列是指数字序列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……，从第3个数字开始，数列中每一个数字都是它之前的两个数字之和（例如，2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，等等）。如果用这个数列中的一个数除以它前面的那个数（例如，144÷89，233÷144），其结果值在黄金分割比率值附近振荡，并且随着数列的延续，这个商也会越来越接近黄金分割比率值。例如，如果只取小数点之后6位的话，从斐波那契数列的上述除法中可以得到如下的结果：144÷89＝1.617 978，233÷144＝1.618 0，377÷233＝1.618 026……你能想象到吗，在此之后不久，人们观察发现，在一些植物的叶片排列分布（专业术语叫叶序）和部分铝合金晶体结构中，都有斐波那契数列以及与其相伴的黄金分割比率的影子。

图9-3

图9-4

为什么我把欧几里得定义的黄金分割概念看做是发明？这是因为欧几里得用他富有创新的思想，把这个比率挑选了出来，进行了详细的分析，并且成功地吸引了其他数学家的注意。不过，值得注意的是，在中国黄金分割比率的概念却不是发明，目前的数学文献基本上没有对它的相关描述。同样，在古印度黄金分割比率的概念也不是发明，只是在研究三角学的一些无关紧要的定理时，隐约提到了这个比例。

还有许多例子可以证明“数学是发现还是发明”这个问题其实是一个伪命题。数学是发明和发现的结合物！作为一种概念，欧几里得几何学中的公理是发明，正如国际象棋的行棋规则是人类的发明一样。公理又被人类研究发明的概念不断补充，诸如三角形、平行四边形、椭圆、黄金分割比率等。然而，在另一方面，欧几里得几何学中的定理，从总体而言却又都是发现，它们是连接不同概念的桥梁。在某些情况下，证明产生了定理，即数学家研究什么是他们能证明的，并从中总结推演出定理。还有另外一种情况，正如阿基米德在《方法论》中所描述的，数学家首先找出他们感兴趣的特定问题的答案，之后再寻找证据。

一般情况下，概念是发明的。例如，质数是作为一个基本概念^［270］被数学家发明的，但是关于质数的相关定理却是人们发现的。在古巴比伦、埃及和中国，尽管当时的数学家们已经发展出了非常先进的数学理论，但他们从来没有提出过质数的概念。我们能说他们只是没有“发现”质数吗？这种说法与我们说大英帝国没有“发现”唯一的、汇编成法典的宪章完全类似！正如一个国家在没有宪法时也能正常运转一样，没有质数的概念，复杂的数学也能不断发展，并且在历史上数学的确也是这样发展的。

是什么原因促使古希腊人发明了作为公理的概念和质数。我们不能确信，但是我们可以猜想这要归功于他们坚持不懈地探索宇宙基本结构的努力。质数是数字的基石，正如原子是物质构成的基础。同样，公理犹如一口源泉，所有的几何真理都从其中源源不断地喷涌而出。就好像正十二面体代表整个宇宙，黄金分割比例被看做是把这种标志带入现实存在的概念。

这些讨论也使数学的另外一个有趣的方面显现了出来：数学是人类文明的一个重要组成部分。当古希腊人发明了公理法以后，西方所有的后续数学理论都遵循这一方法，并接受了同样的哲学和实践。人类学家莱斯利·怀特（Leslie A.White，1900—1975）曾经试图概括总结数学中体现出的人类文明，他说：“假如牛顿是在霍屯督部落（南非的一个原始部落）长大成人的，他的计算能力可能只和霍屯督人一样。”^［271］许多数学发现（例如纽结不变量），甚至某些意义非常重大的发现（例如微积分），它们都是由多个不同的数学家在独立工作中提出的，这主要归因于数学所体现出的这种文化的复杂性。