单规作图的力量

其实，早在可构造数理论提出之前，就已经有人开始研究其他的作图工具了。1672年，丹麦数学家乔治·莫尔（Georg Mohr）找到了一种只用圆规就能完成尺规作图各项基本操作的方法，从而证明了这样一个惊人的事实：一切用尺规作图能够办到的事情，只用圆规也能办到。换句话说，尺规作图完全等价于单规作图。有趣的是，1797年，意大利数学家洛伦佐·马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）也独自发现了这个结论，因而这个结论被称为莫尔—马歇罗尼定理。

当然，有一件事是单规作图永远不可能办到的——只用圆规是没法画出直线的。不过，只要确定了直线上的两点，即使不画出这条直线来，这条直线的位置也已经确定了。倘若你能做到“眼中无线，心中有线”，单规作不了直线也不会带来什么障碍。而我们用直尺画直线的真正目的，其实是为了找出直线与其他线条的交点。如果不画出实际的直线，仅凭圆规就能找出这些交点的话，直尺也就没有用了。因此，为了证明单规作图可以完全代替尺规作图，我们只需要给出以下两个问题的单规作图方法。

（1）已知A、B两点和圆O，作出A、B所在直线与圆O的交点（如果有的话）（见图1）。

图1

（2）已知 A、B两点和 C、D两点，作出 A、B所在直线和 C、D所在直线的交点（见图2）。

图2

不过，要想“隔空”找出交点似乎并不是一件容易的事。下面，我们将从一些简单的问题出发，一步步探索单规作图的能力。先来看一个最基本的操作。

将线段AB延长到原来的2倍、3倍、4倍……（见图3）。

图3

先以B为圆心，以AB为半径作圆。然后从A点出发，以AB为半径，在刚才所作的圆上连续截取AC、CD、DE。由于△ABC、△BCD、△BDE都是等边三角形，易知A、B、E三点在一条直线上，且AE的长度等于AB的两倍。重复此操作，便能将AB延长到任意整数倍的长度。

稍后，我们将在一个出人意料的地方用到上面这个操作。下面我们继续来看单规作图能够实现的另一项简单操作。

已知A、B两点以及点C，作出点C关于A、B所在直线的对称点（见图4）。

图4

很简单，先以A为圆心，A C为半径画弧，再以B为圆心，B C为半径画弧，两弧的另一交点D即为所求。

学到了这一招后，我们立即有了求出直线与圆的交点的办法。

已知A、B两点以及圆O，作出A、B所在直线和圆O的交点（见图5）。

图5

我们可以先作出O关于AB的对称点O'，然后以O'为圆心，取圆O的半径为半径画弧，这条弧与圆O的交点C、D即为所求。如果这条弧与圆O不相交，那么A、B所在直线与圆O没有交点。

不过，上述方案有一个致命的缺陷：如果直线AB恰好经过圆心O，这个方法就不能用了！看来，找出直线和圆的交点，依然没被完美解决。为了处理圆心正好在已知直线上的特殊情形，我们还得想想别的办法。

我们把这件事暂时放在一边，看看单规作图还能做些什么。

已知A、B、C三点，作出点D，使得ABCD是一个平行四边形（见图6）。

图6

以A为圆心，BC为半径作圆；再以C为圆心，AB为半径作圆。两圆的交点D将同时满足AD=BC以及AB=CD，因而四边形ABCD是平行四边形。

构造平行四边形给我们提供了很多有利的工具。我们可以借此完成下面这个重要的操作。

已知圆O和圆周上两点A、B，作出弧AB的中点（见图7）。

图7

先作出平行四边形ABOC和BAOD。以C为圆心，CB为半径作弧；以D为圆心，DA为半径作弧，两弧交于点E。最后，以OE作为半径，分别以C、D为圆心画圆弧，两弧交于M、N两点。下面我们证明，M、N就是劣弧AB和优弧AB的中点。

由对称性，E、M、O显然都在线段 AB的垂直平分线上。如果 M正好落在圆 O上，它就一定是弧AB的中点。因此，如果把圆O的半径记作r，为了说明M点是弧AB的中点，我们只需要说明OM ＝r即可。

不妨把 AB 的长度记作2a，把点 A 到 CD 的距离记作h。由勾股定理可知，a²﹢h²＝r²。另外，由勾股定理还可以得到，AD²=（3a）²+h²=9a²+h²。而DE是等于 AD 的，因此DE²也等于9a²﹢h²。于是，OE²＝DE²-OD²＝9a²﹢h²-4a²＝5a²﹢h²。而DM是等于OE的，因此DM²也等于5a²﹢h²。因而OM₂＝DM₂-OD²＝5a²﹢h²-4a²＝a²﹢h²＝r²，说明 OM 就等于r，这样便可得知 M 是劣弧 AB的中点。

再由对称性可知，N也就是优弧AB的中点。

有了单规平分弧的方法，我们也就能够求出特殊情况下直线和圆的交点了。

已知A、B两点以及圆O，假设A、B所在直线正好经过圆心O，作出A、B所在直线和圆O的交点（见图8）。

图8

以A为圆心，适当长度为半径作圆，与已知圆O交于C、D两点。我们只需要利用刚才的办法，找出劣弧CD和优弧CD的中点即可。

这下，求出直线与圆的交点这一问题，就被我们彻底地解决了。我们的任务已经完成了一半。

为了求出直线与直线的交点，我们还需要做下面的准备工作。

已知长度分别为a、b、c的三条线段，求作一条长度为d 的线段，使得a:b＝c:d。当然，单规作图是画不了线段的，已知的和求作的都仅仅是线段的两个端点（见图9）。

图9

先考虑a＞b的情况。首先，以任意一点 O为圆心，分别以a、b为半径作同心圆。在大圆上任取一点A。以A为圆心，c为半径画弧，与大圆交于点B。因而，线段AB的长度就是c。现在，以适当长度为半径，分别以A、B为圆心作圆弧，与小圆分别交于C、D两点。因而，线段AC和线段BD的长度是相等的。我们下面将证明，CD就是我们要求的线段。

注意到△ACO和△BDO的三条边都对应相等，因而它们全等，于是∠1=∠2。由此可知，∠AOB=∠COD。也就是说，△AOB和△COD是顶角相等的两个等腰三角形，它们显然是相似的。这就告诉我们，AO:CO=AB:CD，因此CD就是我们要求的线段。

如果a＜b，类似地，我们就在小圆上作AB＝c，在大圆上截得AC=BD。根据同样的道理，CD就是我们要求的线段。

不过，这里还有一个问题。在上述过程中，我们做了一个假设：在半径为a的圆中，我们能找到一条长度为c的弦AB。但若a太小，c太大的话，这样的弦可能就不存在了。稍作分析便可知道，只要c＞2a，我们永远也无法在圆上截出线段 AB来。这该怎么办呢？此时，最早提到的“把线段延长整数倍”那一招就派上用场了。我们把线段a 延长到一个足够大的倍数，比如n·a。然后用上面的方法作出满足（na）：b＝ c：d的线段d。再把线段d也延长到n倍，就得到了我们本来要求的线段。

激动人心的时刻到了。我们即将完成莫尔—马歇罗尼定理的整个证明过程的最后一环。

已知A、B两点和C、D两点，作出A、B所在直线和C、D所在直线的交点（见图10）。

图10

首先，作出C点关于直线AB的对称点C'，以及D点关于直线AB的对称点D'。我们要作的其实也就是CD和C'D'的交点。不妨把这个点记作点P。只有圆规，没有直尺，怎样作出点P呢？注意到，D和D'到点P的距离是相等的，如果我们能作出一条长度等于DP的线段，便能以此长度为半径，分别以D、D'为圆心作圆弧，两圆弧的交点就是点P了。上哪儿找一条长度等于DP的线段呢？注意到CC'和DD'是互相平行的（因为它们都垂直于 AB），因而如果作出平行四边形 CC'D'E，那么 E点将正好落在直线DD'上，并且△DEC与△DD'P相似。于是，DE:DC=DD':DP，其中DE、DC、DD'的长度都是已知的，我们就可以套用刚才的方法作出长度为DP的线段。以这个长度为半径，分别以D、D'为圆心作圆弧，两圆弧的交点便是所求的点P了。

这样一来，我们仅用一个圆规就能“模拟”尺规作图的所有基本操作，单规作图的能力也就与尺规作图一样了。