苏步青老师引导我做研究

苏步青老师引导我做研究⁽¹⁾

1943年9月，我考入了浙江大学龙泉分校，读数学系。当时我已经知道苏先生是很杰出的几何学家，是平阳县人。在龙泉分校求学时，知道在分校只能读两年，我也很想在一年之后就到贵州总校去学习。在1944年夏天，我已准备好去贵州总校的路费，但湘桂战役发生，日本侵略者占领了衡阳，交通阻隔，我不得不回温州。不久温州也被日寇占领，我困在家乡不得外出。1945年抗战胜利，我到龙泉分校复学。1946年按学校计划迁回杭州，在贵州的总校于1946年下半年迁回杭州。我期待着总校的外迁，见到仰慕已久的苏步青教授。

一天，我接到通知，苏步青先生接管台湾大学的任务完成，回到杭州，要给学生们做演讲。我为能够见到苏先生感到很兴奋。这是一次对全体学生的演讲。只见他神采奕奕地走上讲坛，展示了一幅台湾地图，以洪亮的杭州式官话，向大家介绍台湾情况。当时台湾刚刚回归祖国，我们听了都很高兴。但我总觉得有些不够味，因为他没有讲数学。

1946年下半年，总校外迁以后，虽然苏先生没有直接为我们上课，但也有许多机会见到他。我们的几何课程（坐标几何和微分几何），都是白正国先生根据他所设定的内容进行教学的。他对我的直接指导，是从1947年的暑假开始，因为这年下半年，我要进入四年级了，要修学一种特殊的课程“数学研究”，由学生自己读书，读论文作报告。当时，我和班上另一位同学张鸣镛，被获准参加几何和分析两个方面的“数学研究”，这是“史无前例”的。在过去，一个学生只能参加一个方面的数学研究。这种例外是由苏先生和陈建功先生共同商定。他们认为我们两人学习成绩优秀、能力强，可以多压担子，让我们有较为广泛的基础。这当然为我们创造了极好的学习基础，对我们今后的学习大有好处。我为要读什么书和论文去找苏先生，苏先生指定的书并不难读，是Eisenhart的微分几何引论，这是一本新版的教科书，是用张量记号处理初等微分几何的，写得非常清楚、有条理，一切从头讲起，我花了不大力气就读下去了。论文的情况却大不相同，他给我布置了J．Douglas（Fields奖得主）的一篇文章，内容是有关变分反问题的，即给定了偏微分方程，看它是否是一个变分问题的Euler-Lagrange方程。论文分两部分，第一部分是关于偏微分方程系统的一般理论，主要是介绍Require等人在解析领域中偏微分方程的理论；第二部分是把这个理论应用于变分反问题中去。拿到这篇论文首先是要抄下来。在抄的过程中，我已感到这是一块硬骨头。当时大学中根本没有偏微分方程的课，只接触到一点点一阶的单个方程，而现在面临着的是任意个、任意阶的方程，完全是“丈二金刚摸不着头脑”。系里也没有人可以问，只好是硬着头皮啃下去。我当时有点初生牛犊不怕虎的味道，感到数学本身是有逻辑可讲的，耐心阅读，总可以理出头绪、一步一步看懂的。在整个暑假中，我把可用的时间（当时我有很多政治活动，占去我大部分时间）都用于阅读这篇长达几十页的文章，终于基本弄清了文章的脉络，知道了基本的结果和所用的方法。后来知道，这是苏先生所惯用的“大松博文”式的训练方法，从难从严。论文在讨论班报告上得到了通过，我感到受益很大。除了知道论文中闻所未闻的困难的数学内容外，还使我对阅读困难论文树立了信心。五十几年过去了，我对这篇论文还有眷恋之情，它帮助我了解的东西是很有意义的。例如，它帮助我了解吴文俊先生的数学机械化部分思想（用于微分几何和偏微分方程系统）和方法。又如，变分反问题仍然是数学中的重大问题，用更现代化观点来研究完全是很值得做的一件事。我还时常会产生想做这件事的念头，虽然和当前在做的许多事来比，一时还难以列入日程。

四年级时，终于有机会听苏先生讲课，他开的是综合几何，是用纯几何（不用代数和分析工具）讲授射影几何的，我本来对这一方向就很感兴趣，苏先生那种条理清楚、推理严谨、黑板上图文并茂的讲授方式，使我非常进入角色，特别是对三次代数曲线的综合研究方法，更使我着迷。在苏先生的启发下，我做出了一个有关三次代数曲线的问题，苏先生看过后很高兴，要我整理出来，又帮我修改英文，准备去投稿。后来我在系图书室的一本专著中，发现有类似的结果，投稿的事当然作罢了。但这件事进一步鼓舞了我的信心，我相信自己有能力在科研上作出创造性的成果。我所推导的结果现在已记不清了，大致是二次曲线的Pascal定理到三维空间的三次曲线上的一个推广，我很惋惜后来把这篇文稿丢掉了。

1948年大学毕业后，苏先生把我留校作为助教，我当时从事党的地下工作，随着解放战争胜利的迫近，我工作十分紧张，但我并不放弃数学，继续听苏先生、陈先生的课，还做点小问题。但我的主要精力完全不在这里。苏先生重视我，要我管数学系图书室。这个两位老师辛苦经营的图书室藏书很丰富，只有我一个人管理。我有机会在里面东翻西看，增加了不少知识，我知道这是苏先生为了培养我才给我这个机会。可是，资料室每天需要按时开门，中间不能关闭，这对从事地下工作、任务非常繁重的我来说，是不可能做到的。有一次苏先生来到资料室，门还没有开，他非常不高兴，但没有直接对我发脾气。我知道这件事是我错了，赶紧辞去这一“美差”，把钥匙交出去，请另一位助教来承担这一任务。

杭州解放后，我在“中国科学工作者协会杭州分会”和“中华自然科学联合会浙江分会”（科联）的工作仍非常忙。但苏先生继续为青年教师、研究生开课，这段时间里，他讲授了“一般空间微分几何”，我还是坚持不懈地去听课。当时我和他的关系很特殊，一方面，他是我的导师，我是他的小字辈学生；另一方面，他是“科联”的主席，我是秘书又是党组书记（未公开），一面帮助苏先生做具体工作，一面贯彻省委、市委意图。苏先生心中明白这一点，对我非常客气。我对苏先生课程中“K展空间”非常感兴趣，苏先生在课堂上说，K展空间的子空间理论尚未建立，我于是努力去思考这个问题。一天晚上睡觉时，灵感来了，设想出有关子空间理论的一种想法，并构想了一种适宜于解决这个问题的新方法，于是就起来进行了许多复杂的计算，几天之内被我算成功了。我拿着这些结果向苏先生汇报，他非常高兴，他告诉我，我对研究的问题应该说成是E．Cartan在黎曼几何学中所提出的“平面公理”的推广。他帮助我把成果写成中英文论文，在当时已复刊的“科学记录”上发表。由于我对K展空间的表达方法与众不同，他为保险起见，用传统的表达方式为这个有关“平面公理”的定理做了另外的证明。后来，这些结果作为一章写进了他的专著《一般空间微分几何学》。这项研究也可以说是我在苏先生指导下完成的最初的系统性的研究。此后，我对研究数学的兴趣越来越大，看到1951年《人民日报》5月4日社论“革命青年要向科学进军”，我很想辞去有关科联党组书记和科协行政工作，回到浙大来当助教。苏先生又帮了我很大的忙，向当时浙江省文教厅厅长俞仲武表达了要我从事数学工作的想法，终于说服了他，放我回归到数学的队伍中来。

此后，苏先生还不断地给青年教师和研究生开课，几年下来（从浙大到复旦），他讲授了E．Cartan的许多重要工作，包括Riemann几何学、连续群理论、外微分形式法等等，使我逐步领略到E．Cartan的几何学的思想和方法，对于我同胡和生较快掌握这些困难的思想和方法，他还发表公开谈话，表示欣赏和鼓励。

到了1956年，苏先生认为我还应该拓广自己数学领域到一个更高水平环境中去锻炼。他和陈建功先生与复旦党委商量，派我和夏道行去莫斯科大学进修两年，到1957年得以成行。他对我说，E．Cartan的许多工作都已由后人充分发展了，只是他的无限连续变换群的理论还很少有人做后续工作，他还希望我的工作范围不要限于微分几何，要跨出去，投入到偏微分方程的研究。这两点也正是我的心愿，在留苏的两年时间，我沿着这两个方向努力，终于很有收获。这种收获以及我后来的工作要归功于苏先生对我的培养和指导。

【注释】

(1)此文刊载于复旦大学出版社出版的《文章道德仰高风》一书，2001年。