损失程度的评估

【任务情景】

一场里氏9．0级的强烈地震于2011年3月11日袭击了日本。据统计，此次的9．0级地震是自有记录(即1900年)以来全球第四强震。虽然日本是地震多发区，但是此次地震是日本自1923年官方测定地震震级以来，该国震级最高的一次地震。地震引发了海啸，造成了重大人员伤亡和财产损失。

生活中有很多风险像地震灾害一样，属于小概率事件，但是这种风险的发生往往会造成非常严重的后果。因此我们对风险损失程度的评估就显得尤为重要。

【任务描述】

损失程度评估是对损失大小的具体量化，它是风险评估的基础。我们可以通过损失数据的描述图形，对比常用分布的概率密度曲线，选择相似曲线来进行拟合，研究损失程度的分布规律，进而研究总损失的分布规律。

【知识链接】

一、每次风险事故所致损失

风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的次数与其相应的概率都可以一一列举出来。但每次风险事故所致的损失金额一般来说不能全部列举出来，它可以在某一区间内取值，因此，它是连续性随机变量。在具体计算时，我们可以确定任意次数事故发生的概率，而对损失金额来说，正常情况下只能确定其在某一区间的概率，因为连续性随机变量取某一特定值的概率为零。

为估测每次事故的损失金额，我们将利用一些概率分布，如正态分布和对数正态分布等，这些分布将会给出一次事故中损失金额可能取值的概率。

(一)用正态分布估测损失额

正态分布的概率密度函数是

根据正态公式及连续型随机变量的数学期望与方差公式，可得出正态分布的数学期望与方差:

E(X) =μ

D(X) =σ2

正态分布中的参数有两个，分别是μ和σ2，它们分别是每次损失金额X的数学期望和方差，可以根据经验数据计算得到。

对于一些损失金额分布类似于正态分布的密度函数图形，即只有一个峰，且图形关于峰是对称的(如图3－7所示)，这样的损失金额分布可以用正态分布来拟合，并通过正态分布来估测损失额落在某区间上的概率，以及损失额超过某一数值时的概率。

图3－7 正态分布图

练一练

一个村庄每次遭受洪水灾害而导致的损失金额如表3－11所示。

表3－11

求: (1)每次灾害所致损失金额小于500元的概率是多少?

(2)每次灾害所致损失金额在4500元和6000元之间的概率是多少?

(3)每次灾害所致损失金额大于7500元的概率是多少?

根据已知条件可得下表:

表3－12

损失金额的期望值:

损失金额的标准差:

(1)每次灾害所致损失金额小于500元的概率:

(2)每次灾害所致损失金额在4500元和6000元之间的概率:

(3)每次灾害所致损失金额大于7500元的概率:

(二)用对数正态分布估测损失额

对数正态分布的概率密度函数为:

根据对数正态公式及连续型随机变量的数学期望与方差公式，可得出正态分布的数学期望与方差:

对数正态分布中的μ和σ2，它们分别是每次损失金额X的数学期望和方差，可以根据经验数据计算得到。

对于一些损失金额分布类似于对数正态分布的密度函数图形，即只有一个峰，但图形具有长尾特征(如图3－8所示)，这样的损失金额分布可以用对数正态分布来拟合，并通过对数正态分布来估测损失额落在某区间上的概率，以及损失额超过某一数值时的概率。

图3－8

练一练

假设企业过去火灾损失数据为(单位: 万元): 2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4， 5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，计算未来损失额超过7万元的概率。

根据已知条件可得损失频数分布情况如下:

表3－13

图3－9

观察其图像，与对数正态分布的图像类似，因此可以用对数正态分布拟合。

对每个数据去对数，得到另一个序列: 0．693，0．693，0．693，1．099，1．099，1．099， 1.099，1．099，1．099，1．386，1．386，1．386，1．386，1．386，1．609，1．609，1．609，1．609， 1.792，1．792，1．792，1．946，1．946，2．079，2．197。对这组新数据进行分组:

表3－14

损失金额的期望值:

损失金额的标准差:

因此，未来损失额超过7万元的概率为:

二、一定时期的总损失金额

一定时期的总损失是指在已知该时期内损失次数概率分布和每次损失金额概率分布的基础上所求的损失总额。风险经理在风险管理决策中经常需要利用每年的损失总额。我们来分析如何得到这样的分布。

在一般情况下，运用前面的泊松分布等一些模型，比较容易得到一年中损失次数的分布。而一旦损失发生，在一次损失中损失额的分布情况通过以上损失程度的分析也比较容易获得。而知道了损失次数和一次损失中损失数额的分布，就可以得到一年中损失程度的概率分布。

年总损失额为发生1次损失时的损失额加上2次损失发生时的损失额等等。

练一练

某企业的财产每年发生损失的次数和一次损失中损失金额的分布如下表所示。试分析年总损失额分布情况。

表3－15 损失次数和一次损失中损失额的分布

首先计算年总损失的所有可能结果。当损失次数为0时，总损失额为0，概率为P1。当损失次数为1时，有两种可能的损失结果，损失额分别为L1或L2。当损失次数为2时，有四种可能的损失结果: 两次损失均为L1; 两次损失均为L2; 第一次损失L1且第二次损失L2; 第一次损失L2且第二次损失L1。这样，就考虑了年总损失额所有可能的情况。

根据概率的计算规则，就可以得到每年损失额和一次损失中损失金额的分布，如下表所示。

表3－16

损失期望值=0×P1+L1×P2Q1+L2×P2Q2+(L1+L1)P3Q1Q1+2×(L1+L2) ×P3Q1Q2+(L2+L2) ×P3Q2Q3

【项目活动】

超市失窃金额的评估

活动目标: 结合案例，对该超市的商品失窃事件数和失窃金额进行描述性分析，并对建立相应的损失分布、对失窃事件数、失窃金额进行评估。

活动任务: 给出案例，对风险进行评估。

商品失窃是超市风险管理中最为常见的一类风险。某大型超市的风险经理试图对本超市商品失窃风险进行一次精确度量，以便管理层可以在购买监测仪器控制失窃风险带来的成本支出，或保持现有状况并承担失窃损失两者之间做出权衡。其对超市2004年1月至2008年2月连续50个月以来发生的货物失窃时间进行统计，数据包括50个月来每个月发生的失窃事件数(见表3－17)，同时还包括其中50次失窃所造成的损失金额(见表3－18)。

表3－17 过去50个月内的失窃事件数据 单位: 件

表3－18 其中50次失窃金额数据 单位: 百元

相关知识点回顾: 损失概率、损失程度、损失数据的收集与整理、损失数据的图形描述、损失数据的数字描述

活动开展形式建议:

(1)借助于相关软件，让学生熟悉怎样在计算机中做出相关损失资料的图形。

(2)组织学生有针对性地选择一种或几种风险，然后收集损失数据，运用本项目中所学内容，对相关风险进行评估。

【项目总结】

(1)风险评估主要是通过对损失概率和损失程度的衡量来实现总损失的估计。损失频率、损失次数、损失幅度、最大可能损失、最大可信损失等等都是可以作为风险衡量的指标。

(2)要对风险进行评估，首先要收集损失数据，再对损失数据进行相应的整理，使其更容易观察出规律性。

(3)对损失数据的描述有两类方法: 图形描述法和数字描述法。其中图形描述中常用的图形有条形图、饼状图、直方图、频数多边形和累积分布图。数字描述主要用位置量数和变异量数这两个指标。

(4)损失程度的评估是对损失大小的具体量化，可以用来估算损失程度的理论分布包括正态分布和对数正态分布。

(5)损失概率是指一定时期内某风险事故发生的次数，在很多情况下，可以用理论分布来估算某种损失的概率。可以用来估算损失概率的理论分布包括二项分布、泊松分布等。

【项目练习】

(1)收集损失资料时应注意哪些问题?

(2)现有110起汽车碰撞事故损失额的分组数据如下表所示:

表3－19

试作出直方图，并计算算术平均数、方差和标准差。

(3)有三项资产，市场条件好，一般或差的概率都为1/3，其预期收益率与风险资料如下:

表3－20

利用平均数、方差、标准差和标准差系数等方法衡量风险并做出投资决策。