多目标优化设计

在工程实际优化问题中，大多数对多个性能目标有最优要求，即多目标优化设计（Multi-objective Optimization Design，MOD）问题。在多目标优化设计中，各目标彼此之间会存在冲突，某个性能目标的提升可能引起其他目标性能的下降，很难同时做到使所有目标同时达到最优，因此对多个目标函数的协调和折中处理就显得十分重要。

多目标优化设计问题可定义为：在满足约束的条件下，寻求使多个目标函数达到最优的设计变量值，求取目标的最小值或最大值的问题可以相互转化。对于最小化目标函数的多目标优化设计，其数学描述为

式中，f1（X）， f2（X），…，fm（X）为目标函数，m为目标函数的个数；Ω为设计空间；X为设计变量集，n为设计变量个数，x Li和x Ui为第i个设计变量的上下限；Hj（X）为等式约束函数，p为等式约束函数的个数；Gk（X）为不等式约束函数，l为不等式约束函数的个数。

多目标优化设计问题是求解一个或多个存在于设计空间Ω且满足约束条件的设计变量集XS，从而使目标函数F（X）各分量取得最小值。多目标优化设计问题的目标函数可以是线性或非线性的。为了解决各优化目标间的相互冲突问题，必须对各个目标进行协调和折中，尽可能使各目标函数达到最优。为了解决这一问题，学者们提出了Pareto解集的概念。多目标优化设计问题的所有非劣解集组成其Pareto最优解集，这个解集也称为Pareto前沿，Pareto解集是考虑了多目标优化设计问题各目标函数冲突性的解，这是综合考虑所有目标的综合影响后，得到的一组非劣解集。Pareto解的意义在于，如果不使其他目标函数性能下降，则解的任何一个目标函数值都不能进一步提升。由Pareto前沿的论述可以看出，Pareto最优解集不止一个。事实上，在实际优化问题中，通常会得到一个连续且无限多个的Pareto最优解集。因此多目标优化设计问题的最终解就是，根据优化设计问题的实际情况从Pareto解集中挑选一个最优的折中方案。

根据问题的计算规模，多目标优化设计问题求解分为直接优化方法和间接优化方法两种。常用的直接优化算法有：加权函数法、梯度优化算法、遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。在求解大型复杂多目标优化设计问题时常用代理模型近视算法间接寻优，常用的间接优化方法有：响应面法（Response Surface Method，RSM）、克里金模型法（Kriging Model，KRM）、径向基神经网络模型法（Radial Basis Function Neural Network，RBF）和第二代非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）等。

下面以轿车白车身轻量化多目标优化设计为例，说明多目标优化设计方法的应用。轿车白车身轻量化设计必须使车身同时满足刚度、强度、模态频率和被动安全性，其轻量化优化设计结果才有工程应用价值。因此，在进行轿车白车身结构的轻量化多目标优化设计时，其优化目标函数一般以减重和白车身某几个结构抗撞性指标等为优化目标，以车身刚度、强度、模态频率和其他一些结构抗撞性指标为约束，以车身零件梁断面形状尺寸和板厚为设计变量，对车身结构进行轻量化优化设计。由于白车身结构复杂，包含的零部件数量多、形状各异，很难直观判定那些零件断面形状和板厚设计变量对减重敏感、但对车身性能不敏感，因此需要借助车身非安全件的灵敏度分析和安全件的贡献度分方法来确定优化的设计变量。在白车身轻量化多目标寻优过程中，要同时进行白车身的刚度、强度、模态和整车正侧碰和偏置碰被动安全性分析，计算工作量大，如图5-3所示。因此，可采用间接优化的代理模型法进行优化设计计算：首先，计算出优化设计的样本点；然后，用代理模型对样本点进行拟合，在对拟合得到的代理模型进行精度检验，满足精度要求后，再对代理模型进行多目标优化设计，得到白车身轻量化优化设计方案；最后，需要对轻量化优化设计结果进行检验，验证轻量化白车身是否满足性能要求。如果满足性能要求，才能得到最终的轻量化优化设计方案；若不满足要求，重新进行优化设计，直至使轻量化白车身满足性能要求为止。图5-4为用间接优化设计方法对白车身进行轻量化优化设计流程。

图5-3 白车身轻量化多目标优化直接算法分析流程

图5-4 用间接优化设计方法对白车身进行轻量化优化设计流程