万有引力的发现

伽利略的实验和笛卡尔严格表述的惯性定律表明，不是维持一个物体的匀速直线运动而是改变这种运动才需要一个外力。这就意味着，天文学家所需要解释的问题不是行星为什么不断地运动，也不是行星为什么不按严格的圆周轨道运动，而是为什么总是绕太阳作封闭曲线运动，而不作直线运动跑到外部空间去。牛顿对天文学的伟大贡献，正是在对这一问题的思考和回答中作出的。

根据一些可靠的资料，“苹果事件”很可能是真实的。但是从苹果落地到万有引力定律的发现，还有很多问题要解决。根据伽利略的抛射定律，牛顿一开始认为月球和其他行星的轨道运动和抛射体的运动相似，或者说是抛射体运动的一种极限情形：一块被抛射出去的石头由于自身的重量而不得不偏离直线路径，在空中划出一条曲线；最后落到地面。抛射的初速度越大，石块落地之前行经的路程就越远。因此可以设想，随着抛射体初速度的增加，石块落地之前在空中划出的弧长越长，直到最后越出地球的界限，它就可以完全不接触地球而在空中飞翔。

牛顿从苹果落地得到启发，想到把苹果拉向地面的力可能和地球控制月亮的力是同一种力。为了检验使苹果落地的力和维持月球在其闭合轨道上运动的力之间可能的关系，必须①弄清楚究竟根据什么定律，重力随着与地球距离的增加而减少；②根据这一定律和所测得的在地球表面上的物体的加速度来计算，月球轨道处的重力加速度将会多大；③假设月球的轨道是一个以地球为圆心的圆，计算月球的实际向心加速度是多少；④确定由②和③得出的加速度在数值上是否相等，从而可以认为两者是由于同一种力的作用所引起的。

牛顿的研究基本上也是按照这个思路进行的。牛顿首先通过对匀速圆周运动的分析获得了向心加速度的表达式。如果作匀速圆周运动的物体线速度为v，周期为T，半径为r，向心加速度为a，则有：a＝v2/r；然后利用开普勒第三定律，牛顿也独立得到了引力的平方反比形式：物体下落速度的变化率与该物体距地心距离的平方成反比。

牛顿根据平方反比定律推算出月球距离上的重力提供的月球加速度。然而该数值与实测结果相差太大。牛顿对此非常失望。一些人认为因为牛顿采用了较小的地球半径数值，所以导致了推算上的差异。但是更可能的原因是牛顿在确定地球和被吸引物体之间的有效距离上遇到了困难。能把地球这个大球体的引力看作只是从地心发出的吗？对这个问题的肯定回答，要等到1685年牛顿创立微积分这个数学工具之后才能作出。不管是什么原因，牛顿把重力问题搁置了15年。

1680年胡克写信给牛顿，建议他研究确定在一个按平方反比定律变化的引力中心附近区域里运动的质点的运动路径问题。牛顿看来没有答复这封信，但确实重新开始了他早年的计算。并计算出在平方反比定律的力的作用下的轨道是一个以吸引体为焦点的椭圆。这样行星的椭圆轨道就得到了一个合理的解释；接着牛顿又进一步证明，如果围绕引力中心的运动是椭圆运动，而此引力中心是椭圆的一个焦点，那么该力一定是平方反比例的力。

像牛顿一样，哈雷也根据开普勒第三定律推导出了平方反比定律，但未能走得更远。直到1684年8月哈雷造访牛顿，问他若天体之间在平方反比引力作用下会怎样运动。牛顿回答说按椭圆轨道运动。哈雷问他如何得知，牛顿就讲述了1666年在农庄里的推算，只是那时的手稿丢失了。哈雷欣喜万分，鼓励牛顿把研究继续下去，并要求牛顿答允把研究成果寄给皇家学会，以便将它们登记备案，确立其优先权。

这次的推算很顺利，因为当时已经获得了比较精确的地球半径值，而且牛顿创立的微积分使他能证明：一个所有与球心等距离的点上的密度都相等的球体在吸引一个外部质点时，可视为其全部质量都集中在球心。因此牛顿完全有理由把太阳系各天体看作是有质量无体积的质点。据说面对越来越强烈的成功预感，牛顿激动得算不下去，只好让一位朋友替他算下去。

在哈雷收到的牛顿手稿中完成了引力的平方反比定律与开普勒三定律之间的充分必要证明。开普勒三定律的可信性最终得以确立。在其手稿中，牛顿还表明了开普勒第三定律也适用于伽利略所发现的木星卫星和新发现的土星卫星（惠更斯于1655年发现土卫六，大多米尼科·卡西尼发现另外四颗）。这些卫星显然受到了它们所围绕的行星的平方反比引力的作用。如果土星吸引土卫六，它为什么不吸引太阳呢？

图7.3　《自然哲学的数学原理》封面

到几周后牛顿完成了对手稿的修订时，他在认识上实现了关键性的跨越：天体的确相互吸引。这一认识使他走上了通向万有引力之路，物理学史上翻起了新的一页。但即使是牛顿本人，也会惊讶于这种复杂局面：天空有这么多的天体，它们彼此相互吸引，谁有能力去解开其中所涉及的大量力学问题？牛顿自己说过：“如果我没有弄错的话，要同时考虑所有这些导致运动的原因，要用精确的定律通过简单的计算去定义这些运动，这超过了任何一个人的思维能力。”

哈雷很清楚牛顿的这些工作的革命性意义，他开始耐心地劝说牛顿出版他的著作。为了详尽地阐述所有这一切，牛顿着手写一本书，书名叫《自然哲学的数学原理》，简称《原理》。