测评中数学问题解决的评价框架亟待建立

在两个国际大规模数学测评中，PISA数学测评将问题解决置于整个测评的中心，围绕问题解决展开内容、过程、情境和问题类型的设计，而TIMSS数学测评虽然没有直接提出，但在认知领域的应用维度和推理维度上，都分别涉及对常规问题和非常规问题的解决。问题解决在数学教学和评价中的作用，值得我们进一步重视和思考。

1.数学问题解决和数学的应用

自1980年美国数学教师协会在《关于行动的议程》（An Agenda of Action）中提出“必须把问题解决作为学校数学教育的核心”以后，“问题解决”就成了20世纪80年代美国数学教育界的主要口号。同时，几乎所有国家都陆续将提高学生的问题解决能力作为数学教育的主要目标之一。“数学学科的学习，重要的是在概念理解、基本技能和问题解决之间达成平衡”已经成为20世纪90年代以来数学教育界的共识。^[11]

中华人民共和国教育部于2001年7月颁布的《义务教育阶段国家数学课程标准》，继承了课程大纲中对“能够运用所学知识解决简单实际问题”的能力要求，同时将“解决问题”作为与“知识技能”“数学思考”“清感与态度”并列的课程目标提出。上海市的2004年版课程标准，虽然没有单独并明确地提出“解决问题”，但在总目标中明确指出“具有数学抽象、探索与应用等过程……能从数学的角度和运用数学的思维方式去观察、分析现实生活中的事物，会从中提出问题，并会运用所学知识和技能解决简单的问题”。应该说，“解决问题”已经在中国的义务教育阶段成为一个重要的、独立的教学目标。

在“问题解决”的理论层面，如数学问题的表征、数学解题策略、解题能力的心理结构、问题解决与元认知发展等方面，中国学者也作了深入思考。^[12]但是，对于如何评价“问题解决”方面的思考并不多，且在具体实施过程中，对于“问题解决”在理解和具体操作上都出现了一些值得思考的现象，如忽视“问题的提出”，将“问题解决”异化为“题海战术”或理解为“实际应用”等。^[13]

课程标准是中国大规模数学测评的命题依据。“解决问题”作为课程标准的目标之一，必然是中考数学测评中非常重要的一个测试领域。想通过中考数学测评科学、合理地评价学生在“解决问题”上的水平高低，就需要我们合理地制定相应评价框架，确保能够体现出对教学的正确导向性。

2.目前全国中考数学测评中对解决问题的考法分析

在中国义务教育阶段《国家数学课程标准》（2001年版）中，对“解决问题”具体作了如下说明。

（1）逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题；

（2）形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；

（3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果，逐步形成评价与反思的意识。

应该说，全国的命题人员在体现“解决问题”、充分利用问题的内涵和问题的呈现形式上做了很多工作。下面以2007年全国试题为例进行分析。

例1某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：

方案1所有评委所给分的平均数.

方案2在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数.

方案3所有评委所给分的中位数.

方案4所有评委所给分的众数.

为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验.下面是这个同学的得分统计图（如图8-1所示）：

图8-1

（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；

（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。

［2007年江西省中考试题］

本题创设了有关方案的设计情境。试题通过对四种方案的叙述，考查考生对相关数学概念（平均数、中位数等）现实意义的理解的同时，更侧重了方案的优化或合理性判断，促进学生对方案进行整理、反思和评价。

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图8-2（B）所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF //CE，交AC于点F，连接EF，如图8-2（C）所示，则直线EF也是△ABC的黄金分割线.

请你说明理由.

（4）如图8-2（D）所示，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF//AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边的黄金分割点.

图8-2

［2007年连云港市中考试题］

本题设计了一个研究小组进行课题学习的情境，对黄金分割点的定义从一维向两维层面进行推广。问题（1）要求学生根据新的定义进行判断，考查学生对新知识的理解能力；问题（2）要求利用中线的性质，指明黄金分割线的存在性；问题（3）要求论证某一直线是黄金分割线；问题（4）将图形变为平行四边形，将定义的外延拓展，运用作图，进一步考核学生对定义内涵的理解掌握。整个过程体现的是对新定义理解掌握的学习过程，在这过程中也考查了学生的类比思想，体现了操作、猜想、论证等解决数学问题的基本方法和策略。

例3如图8-3所示，已知AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B、E，AB =DE.请添加一个适当条件，使△ABC≌△△DEF，并予以证明.

添加条件：

图8-3

［2007年福建省宁德市中考试题］

本题将直角三角形全等的判定定理隐去了一个条件。直角三角形中边与边、角与角，以及边角之间存在的特殊关系，使得△ABC≌△DEF能够成立的条件很多，形成了一个条件开放的问题。不同的条件呈现出不同的证明过程。

3.对“问题解决”测评的分析

从评价测量的角度来看，仅仅需要学生通过“识别、回忆、模仿”就可以解决的试题，其解题过程也无法真正体现学生解决问题的能力，无法全面地体现出学生的数学素养。通过上述例子及分析可知，由于国家课程标准中对“解决问题”提出了要求，我国在测评层面在不断地突破以往经常出现的类似“识别题型、回忆解法、模仿例题”的试题。然而从测量评价的角度来看，对“问题解决”的测评还存在很多不足，具体问题如下。

问题1：在课程标准中，“问题解决”的认知水平层次不明确，在学业水平测试中，就很难对学生在该能力上的强弱进行进一步诊断和分析。

问题2：如何处理好问题解决与数学能力之间的关系？在问题解决过程中，需要学生将多种能力综合运用，这样的过程就包含了学科能力。这也给评价操作带来了以下两个难点。

（1）测试项目（试题）在以知识点为载体时，往往评价学生多个数学能力的表现，然而数学相关能力没有在课程标准中作出明确的界定，这就使得在测试过程中，无法对测试试题在能力层面进行归类，这也给中考数学测评诊断功能的合理体现带来很大的障碍。

（2）问题解决与数学能力之间呈现出二阶结构模式，给统计测量模型的运用和学生测试成绩构想效度的论证都带来了一定的难度。

应该说，从测量评价的角度来看，对“问题解决”的测量评价处于有意识但技术上不规范的状态中。

在国际上，关于“问题解决”的测评框架，既有PISA数学测评中对相关数学过程的描述，及相应的测评目标分析框架，又有在美国基础教育课程改革中起到引领作用的《英语、数学、科学、应用学习能力表现标准》，它在数学部分对问题解决测评的框架及相应的表现说明作了详细的阐述。对于PISA数学测评的问题解决框架，前面有详细论述，这里不再重复。但是值得指出的是，该框架正在逐步被一些国家接受并产生影响，如德国就受到它的影响，调整了该国数学教育目标中的数学能力模型。^[14]而在美国《初中数学能力表现标准》中，将问题解决和数学推理作为八个领域中的一个，该“标准”对它的界定是：学生用数学概念与技能解决非常规的、没有具体和详细步骤可循的问题，以显示解决问题的能力。该“标准”中对问题解决的表现从三方面——系统阐述、实施和结论进行展开。这实际上将问题解决划分出了三个相应的类别。^[15]

（1）学生参与问题的提出，即已知问题情境的基本陈述，学生能够：

· 系统地阐述和解决多种有意义的问题；

·从给定情境中提取有关的信息，弄清需要增加的信息。

（2）学生作出计划和实施解决的基本选择，即学生能够：

·使用和发明各种方法，理解并评估其他人的方法；

·实行问题解决的策略，如用阐明情况的有意义的草稿来说明，或在一张表格中组织信息；

·如有帮助的话，决定把问题分成更简单的几个部分；

·用代数、图形、正确推理和其他策略解出未知量或未决定的量；

·从数学的不同领域整合概念和技术；

· 当任务技术或规定时间使得小组工作有一个适当的策略时，应在小组内有效工作。

（3）学生通过概要陈述和一般结论结束解决的过程，即学生能够：

·对原始问题的情形证实和解释结果；

·将解法和策略推广到新问题的情形。

这三个类别在整个问题解决中相互影响，甚至相互依赖，但又可以相互独立地对学生进行测试。这种对问题解决的划分，便于评价者进行整体的把握，明确评价的目标，同时有利于教学者对学生在问题解决过程中的重点环节，对学生进行有针对性的教学。

在PISA 2012的过程维度上，将问题解决的构成分成三个阶段。对照上述美国能力表现标准中问题解决的三个类别，在纸笔测试的条件下，PISA 2012数学测评的问题解决过程维度与这些类别有着很强相似性，甚至是它的一个具体版。无论将问题解决如何分类，甚至分层，体现的都是对问题解决过程的认识，是数学思维活动过程中的思考对教学和学生学习产生的重要意义。在国内中考数学测评中，急需将问题解决纳入测评目标分析框架，并有机地将能力和内容加以整合。