点的合成运动

时间：2022-11-10 百科知识版权反馈

【摘要】：点的合成运动这部分内容，主要是应用运动的合成与分解的概念，研究同一动点相对于两个不同参考系的运动之间的关系。从而建立了点的速度合成定理和加速度合成定理。动点相对于动系的运动称为相对运动。牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度和牵连加速度，并分别以ve和ae表示之。反之，动点的绝对运动也可分解为牵连运动和相对运动。动点的va、aa和vr、ar一般可以根据其绝对运动和相对运动进行分析。

4.2.3　点的合成运动

点的合成运动这部分内容，主要是应用运动的合成与分解的概念，研究同一动点相对于两个不同参考系的运动之间的关系。从而建立了点的速度合成定理和加速度合成定理。

1.静系动系

固结于某一参考体上的坐标系Oxyz称为静坐标系，简称静系。通常如不加说明，则以固结于地球表面上的坐标系作为静系。

固结于相对静系运动的参考体上的坐标系O'x'y'z'称为动坐标系，简称动系。

2.三种运动三种速度三种加速度

动点相对于静系的运动称为绝对运动。在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度，并以v_a和a_a分别表示该速度和加速度。

动点相对于动系的运动称为相对运动。在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对轨迹、相对速度和相对加速度，并以v_r和a_r分别表示该速度和加速度。

动系相对静系的运动称为牵连运动。在某一瞬时，动系上与动点相重合的一点称为动点在此瞬时的牵连点。牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度和牵连加速度，并分别以v_e和a_e表示之。

上述三种运动的关系如图4.2-10所示，即动点的绝对运动可视为相对运动与牵连运动的合成运动。反之，动点的绝对运动也可分解为牵连运动和相对运动。

图4.2-10

3.点的速度合成定理

可以证明，动点的三种速度v_a、v_e、v_r之间有如下关系式:

v_a=v_e+v_r

即动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。根据此定理可知，v_a、v_e、v_r构成一速度平行四边形，其对角线为绝对速度v_a。

由于每个速度矢量包含大小和方向二个量，因此上式总共含有六个量，当已知其中任意四个量时，便可求出其余两个未知量。

应当指出，由于存在相对运动，所以不同瞬时，动系上与动点相重合的那一点即牵连点，在动系上的位置也随之而变化。

4.点的加速度合成定理

动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下。

牵连运动为平动:a_a=a_e+a_r

牵连运动为转动:a_a=a_e+a_r+a_k式中a_k称为科氏加速度。它是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。a_k的矢量表达式为

a_k=2ω×v_r

图4.2-11

其中ω为动系的角速度矢。设ω与v_r间的夹角为θ(图4.2-11)，则a_k的大小为

a_k=2ωv_rsinθ

a_k的指向由ω和v_r的矢积确定。

对于平面机构，因a_a、a_e、a_r和a_k等各加速度矢都位于同一平面中，所以运用加速度合成定理只能求解大小或方向共两个未知量。由于a_a或a_e或a_r都可能存在切向与法向两个加速度分量，因此在求解中，常应用合矢量投影定理进行具体计算。

5.应用速度或加速度合成定理解题的一般步骤和方法

(1)分析机构的运动情况，根据题意适当地选取动点、动系和静系

它们的选取方法，一般可以两个方面来考虑:其一，动系相对静系有运动，动点相对动系也有运动;其二，除题意特别指明动系或动点外，尽可能使选取的动点对动系有明显而简单的相对运动轨迹。在一般机构中，通常可选取传递运动的接触点为动点，与其邻接的刚体为动系。

(2)分析绝对运动、相对运动和牵连运动

绝对运动和相对运动都是指动点的运动。在相对运动的分析中，可设想观察者站在动系上，观察到的动点运动即为它的相对运动。而牵连运动是指动系的运动，也就是固结着动系的刚体相对静系的绝对运动。

(3)根据题意，分析动点的各种速度或加速度，并图示速度或加速度矢量图

动点的v_a、a_a和v_r、a_r一般可以根据其绝对运动和相对运动进行分析。而在分析v_e和a_e时，关键在于明确该瞬时牵连点的位置，然后根据动系运动性质分析牵连点的速度和加速度，亦即动点的牵连速度v_e和牵连加速度a_e;或可以认为动点暂不作相对运动，而把它固结在动系上，则动点随动系运动的速度和加速度即为v_e、a_e。

另外，在动点的各加速度分量中，当牵连运动为转动时，应含有科氏加速度a_k。

(4)根据速度和加速度合成定理求解

①根据运动方程v_a=v_e+v_r求解未知量时，一般可应用半图解法，即作出速度平行四边行，然后根据图示的几何关系求得待求量。

②应用加速度合成定理时，首先要区分牵连运动是平动还是转动，然后列出相应的矢量式，即a_a=a_e+a_r或a_a=a_e+a_r+a_k，因在最一般情况下，加速度合成定理可写为

a_aτ+a_an=a_eτ+a_en+a_rτ+a_rn+a_k

所以，通常应用合矢量投影定理进行具体计算。不过，应当防止类似于Σa_x=0或“已知矢量投影=未知矢量投影”等这类错误出现。

【例4.2-7】曲柄OA长为r，以匀角速度ω绕轴O逆时针方向转动，从而通过曲柄的A端推动滑杆BC沿铅直方向上升，如图4.2-12(a)所示。求当θ=60°时，滑杆BC的速度和加速度。

解:取OA上的A点为动点，滑杆BC为动系。动点A的绝对运动是圆周运动;相对运动是水平直线运动;牵连运动是滑杆BC的平动。动点A的速度和加速度矢量图如图4.2-12(b)所示。

由图4.2-12所示的速度和加速度平行四边形，得滑杆BC的速度v和加速度a的大小为

方向如图4.12-12所示。

图4.2-12

本题若取滑杆上的A₁点为动点，OA杆为动系。则A₁点的相对轨迹显然不是一条水平直线。我们可以这样思考，设杆OA不转动，仅BC杆运动，则A₁点相对杆OA作铅垂直线运动;反之，若杆BC不动，仅OA杆转动，则A₁要相对杆OA作顺时针向的圆周运动。实际上，杆OA与BC同时在运动，故A₁点相对杆OA的相对运动应是铅垂直线运动和圆周运动的合成运动，即相对轨迹为一平面曲线，故在加速度计算中，除多一项a_k外，还因相对轨迹未知，造成了a_r的计算困难。这就表明，若以不恒定运动过程中的接触点A为动点，则将给求解带来不便。

【例4.2-8】直角曲杆OBC绕O轴以匀角速度ω转动，OB=r，小环M套在杆BC和固定杆OA上(图4.2-13)，试求图示位置φ=ωt时M的绝对加速度a。

解:动点M，动坐标系固结在OBC上，静坐标系固结地面即OA上。则M的绝对运动为沿杆OA的直线运动，M的相对运动为沿杆BC的直线运动，由于牵连速度，方向垂直OM并顺ω转向。于是由点的速度合成公式可得v_a、v_r的大小和方向，其中v_r=rω/cos²φ。由于牵连运动作定轴转动，且ω=常量，即ε=0，则a_eτ=0，a_e=a_en=，方向由M指向O点;a_k=2v_rω=2rω²/cos²φ，方向由v_r方向顺ω转90°，如图4.2-13所示。设a方向由M点向O，把点的加速度合成公式投影到N轴上，得acosφ=a_ecosφ－a_k;a=a_e－a_k/cosφ=rω²/cosφ－2rω²/cos³φ。