切割体的投影

3．2　切割体的投影

3．2．1　概述

较为复杂的机器零件的形体，往往不是单一、完整的基本体，而是由一些基本体经过叠加、切割或穿孔等方式组合而形成的形体。其中基本体被平面截切后的部分称为切割体。截切基本体的平面称为截平面，基本体被截切后的断面称为截断面，截平面与基本体表面的交线称为截交线，如图3－14所示。

图3－14　截交线的概念及零件示例

截交线的形状与基本体表面形状及截平面与立体的相对位置有关，但任何截交线都具有下列两个基本性质。

（1）共有性。截交线既在截平面上，又在立体表面上，故截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上每一点均为其共有点。

（2）封闭性。由于任何立体表面都是封闭的，而截交线又为平面截切立体所得，故截交线所围图形一定是封闭的平面图形（平面多边形、平面曲线或两者的组合）。

由以上性质可以看出，画截交线的实质就是要求出截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接各点即可。

3．2．2　平面切割体的投影

由于平面立体的表面都是由平面所组成的，所以它的截交线是由直线围成的封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点，多边形的每一条边是平面立体表面与截平面的交线。因此，求平面立体的截交线，就是求出截平面与平面立体上各被截棱线或底边的交点，然后依次连接即可。

例3－1　求正六棱柱斜切后的投影。

解　如图3－15a所示，由于正六棱柱各侧面都被正垂面切断，其截面必为一个六边形，顶点是截平面与各棱线的交点。作图时，先利用投影积聚性求出截平面与六棱柱各棱线交点的正面投影和水平投影，然后根据点的投影规律求出各交点的侧面投影，依次连接各点即为所求截交线的投影，如图3－15b所示。

图3－15　正六棱柱的截交线

例3－2　求正四棱柱开槽后的投影。

解　正四棱柱开槽，可以看做是由几个截平面截切棱柱而成（见图3－16a）。作图时，分别求出各截断面的投影即可。具体作图过程如图3－16b所示。擦去多余的线。

图3－16　正四棱柱开槽后的投影

例3－3　求斜切三棱锥的投影。

解　如图3－17所示为三棱锥被一正垂面截切，因截平面P同时截断了三棱锥的三条棱线，所以利用积聚性可求出截交线的正面投影1′2′3′，再利用投影规律便可求出其余两投影。

图3－17　斜切三棱锥的投影

3．2．3　回转切割体的投影

回转体的表面是由曲面或曲面与平面所组成，它们切割后的截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线围成的平面图形。因此，求回转体的截交线，就是要求出截平面与回转体上各被截素线的交点，然后依次光滑连接各点即可。

1．圆柱切割体

根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，平面截切圆柱所得的截交线有三种：圆、椭圆及矩形，如表3－1所示。

表3－1　圆柱的切割

续表

例3－4　求一斜切圆柱的截交线，如图3－18所示。

分析　圆柱被正垂面截切，由于截平面与圆柱轴线斜交，故所得截交线是一椭圆，它既位于截平面上，又位于圆柱面上。因截平面在V面上的投影有积聚性，故截交线的V面投影应当与截平面重合。圆柱面的H面投影有积聚性，截交线的H面投影与圆柱面的H面投影重合，所以只需求出截交线的W面投影。

解　作图步骤如下。

（1）作特殊点。如图3－18所示，特殊点一般在转向轮廓线上，A、B、C、D是截平面与圆柱四条转向轮廓线的交点，同时也是椭圆长轴和短轴的端点。先在水平投影上找出这些点，然后在正面投影中找出对应点，再由两面投影求出它们的侧面投影。

（2）作一般点。作一般点E、F、G、H，作图方法同特殊点。

（3）依次光滑连接各点，即得截交线的侧面投影图。

（4）整理轮廓线。

图3－18　斜切圆柱的截交线

例3－5　求切口圆柱的水平投影。

解　从图3－19可以看出：槽口是由两个与轴线平行的平面P、Q和一个与轴线垂直的平面T切出的。前者与圆柱面的交线是直线，后者与圆柱面的交线是圆弧。由于平面P是一水平面，它的正面投影有积聚性，所以交线AB和CD的正面投影a′b′和c′d′与PV重合。同时，由于圆柱的轴线垂直于侧面，它的侧面投影有积聚性，所以交线AB和CD的侧面投影积聚成圆周上的两个点a″（b″）和c″（d″）。平面Q的情况与P相同，请自行分析它的交线情况。

此外，因为平面T是一侧平面，它的正面投影有积聚性，所以交线圆弧BEF的正面投影b′e′f′与TV重合。而它的侧面投影b″e″f″与圆柱面的侧面投影（圆周）重合。其作图过程如图3－19所示。

图3－19　求切口圆柱的水平投影

例3－6　求作圆柱切割后的投影。

解　如图3－20所示，该圆柱被切去了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等四部分形体。Ⅰ、Ⅱ部分为由两平行于圆柱轴线的平面和一垂直于圆柱轴线的平面切割圆柱而成，切口为矩形。Ⅲ部分也为由两平行于轴线的平面和一垂直于轴线的平面切割圆柱而成，即在圆柱右端开一个槽，切口亦为矩形。Ⅳ部分是在切割Ⅰ、Ⅱ部分的基础上再挖去的一个小圆柱。其作图步骤如下（见图3－20）。

（1）画出完整圆柱的三个投影，并切去Ⅰ、Ⅱ部分（见图b）。

（2）画切去Ⅲ部分后的投影（见图c）。

（3）画挖去Ⅳ部分后的投影，并完成全图（见图d）。

图3－21是平行于轴线的截平面切割圆柱示例，作图过程请自行分析。

2．圆锥切割体

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有五种情况，如表3－2所示。

表3－2　圆锥体的切割

续表

图3－20　圆柱切割体的投影

例3－7　圆锥被一正垂面截断，求其截交线，如图3－22所示。

分析　从所给情况看，截交线为一椭圆，它的正面投影积聚成一直线，而其水平投影和侧面投影仍为椭圆。作图时，应先找出长、短轴的端点以及转向轮廓线上的交点，然后再适当找一些一般点，将它们光滑地连接起来即可。

解　作图步骤如下。

（1）找特殊点。特殊位置点包括椭圆长轴和短轴的端点以及截平面与圆锥四条转向轮廓线的交点。从图3－22中的立体图可以看出：椭圆的长轴AB和短轴CD互相垂直平分。A、B两点是截交线上最高、最低点，同时也是最左、最右点。C、D两点的正面投影位于线段a′b′的中点处，并重影为一点。E、F两点为截平面与圆锥面最前、最后素线的交点，其正面投影为截平面投影积聚线与轴线的交点。利用在圆锥表面取点的方法可以找出它们的其他投影。

（2）找一般点。因为截平面为正垂面，其正面投影积聚为一条直线。所以截交线上所有点的正面投影均在截平面的正面投影积聚线上。在正面投影上取点，利用在圆锥表面取点的方法可以找出它们的其他投影。用同样的方法可以求得一系列的一般点。点越多，画出的椭圆就越准确。

图3－21　平行于轴线的截平面切割圆柱示例

图3－22　正垂面截切圆锥

（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。

（4）整理轮廓线。

例3－8　圆锥被一正平面切割，求作截交线的投影，如图3－23所示。

分析　因为正平面与圆锥的轴线平行，所以截交线是双曲线。其水平投影积聚在PH上，而它的正面投影则反映实形。

图3－23　正平面截切圆锥

解　作图步骤如下。

（1）找特殊点。最低点A、B的水平投影a、b是截平面PH与圆锥底圆的水平投影的交点，由此得出a′、b′。最高点E的水平投影位于线段ab的中点。用辅助圆法可求得最高点E的正面投影，具体做法如图3－23所示。

（2）找一般点。

（3）依次光滑连接各点即得截交线的正面投影。

（4）整理轮廓线。

表3－3　球的切割

3．球切割体

平面切割球时，无论截平面与球处于何种位置，其截交线均为圆，圆的大小由截平面与球心之间的距离而定。截平面通过球心，所得截交线（圆）的直径最大；截平面离球心越远，圆的直径就越小。根据截平面对投影面的相对位置不同，截交线圆的投影可能是反映实形的圆，也可能是椭圆或直线段，如表3－3所示。

例3－9　求作正垂面截切球的截交线，如图3－24所示。

分析　因球是被正垂面截切，所以截交线的正面投影积聚为直线，其水平投影和侧面投影均为椭圆。

解　作图步骤如下。

（1）找特殊点，即椭圆长、短轴的四个端点，以及截平面与转向轮廓线的交点。其中最低点A和最高点B同时也是最左点和最右点，可直接求出。椭圆的另两个端点C和D的求法以及截平面与转向轮廓线的交点E、F要用辅助圆法求解，如图3－24a所示。

（2）找一般点。一般点G、H的求法同样用的是辅助圆法，如图3－24b所示。

（3）依次光滑连接各点即为所求，如图3－24c所示。

（4）整理轮廓线。

图3－24　正垂面截切球的截交线

例3－10　求作半球开槽后的投影图，如图3－25所示。

图3－25　半球开槽后的投影

分析　半球上的通槽由一对侧平面和一水平面切割而成。它们和球表面的交线都是圆弧，这些圆弧的V面投影有积聚性为已知，只需求作它们的H面投影和W面投影。

解　作图关键在于正确确定截交线圆弧的半径。其作图过程如图3－25a所示，图3－25b为零件示例。

3．2．4　组合回转体的切割体

组合回转体由若干基本回转体组成。平面切割组合回转体则形成组合截交线。作图时，首先要分析各部分的曲面性质及分界线，然后按照它们各自的几何特性确定其截交线的形状，再分别作出。

例3－11　求顶尖头的水平投影。

分析　顶尖头是由同轴的圆锥体和圆柱体被两个截平面P、Q截切而成。由于截平面P是侧平面，并与圆柱轴线垂直，所以它与圆柱的截交线为圆弧，其正面投影和水平投影均积聚为直线，侧面投影为圆弧实形并与圆重合；Q为水平面，并同时与圆柱、圆锥轴线平行，所以该平面与圆柱的截交线为两平行素线，与圆锥的截交线为双曲线，其水平投影均反映实形，正面投影和侧面投影都积聚为直线。其作图过程如图3－26所示。

图3－26　顶尖头的水平投影求法

解　作图步骤如下。

（1）找特殊点。圆弧截交线的最高点A和前后两端点B、C的正面投影a′、b′（c′）和侧面投影a″、（b″）、（c″）可直接求出。由两面投影可求出水平投影a、b、c，圆弧的水平投影为直线。B、C两点也是截平面Q与圆柱的截交线（矩形）右侧的两个端点，故在左侧两个端点D、E的投影d、e，d′、（e′）和d″、e″亦可直接求出。点D、E也是双曲线右侧的两个端点，双曲线左侧端点F的正面投影为f′，由点F所在素线的从属关系可求出f″和f，如图3－26c所示。

（2）求一般点。选择适当位置作纬圆，其正面投影与截交线正面投影的交点为g′、（h′），g″、h″和g、h可依次求出，如图3－26d所示。

（3）顺次连接点d、b、a、c、e，光滑连接d、g、f、h、e各点，即得顶尖头的水平投影，如图3－26e所示。图中虚线为顶尖头下部圆锥面与圆柱面的交线。

（4）整理轮廓线。