基于频域的系统辨识

在分析和设计系统时首先要建立系统的数学模型。但是在很多情况下，由于实际对象的复杂性，完全从理论上推导出系统的数学模型很困难，此时可采用实验分析法来确定系统的数学模型，实现系统辨识。

系统辨识就是给系统施加激励信号后测量出系统的输出响应，然后对输入、输出信号进行数学处理并获得系统的数学模型。不同的激励信号数学处理方法各有不同，本节介绍由Bode图进行频域系统辨识。即根据频率特性定义用正弦信号作为激励信号求取实验Bode图，估计Bode图幅频对应的最小相位系统的传递函数，再根据Bode图相频进行修正。

在可能涉及的频率范围内测出系统在足够多频率点上的幅值和相角并由测得的实验数据画出系统Bode图；在Bode图上画出实验曲线的渐近线；将各段渐近线组合起来就可构成整个系统的近似对数幅值曲线。再由渐近线确定系统传递函数，其中确定环节组成和增益是关键。

系统增益由实验对数幅频特性的低频渐近线确定。在ω→0即当ωω1时，有

L（ω）＝20lgK－20狏lgω

式中：狏为系统中积分环节个数，通常工程系统狏≤2。图5-33给出了狏≤2时系统低频渐近线中系统增益与频率的关系。

（1）狏＝0时L（ω）＝20lgK。低频渐近线是一条高度为20lgK（d B）的水平线，故可由该水平渐近线的高度求出K值。

（2）狏＝1时L（ω）＝20lgK－20lgω。当L（ω）＝0即与零分贝线相交时K＝ω，因此增益K在数值上等于低频渐近线或它的延长线与零分贝线交点处的频率ω值。

（3）狏＝2时L（ω）＝20lgK－40lgω。当L（ω）＝0时K＝ω2，因此增益K等于低频渐近线与零分贝线相交处频率ω值的平方。

图5-33 由实验对数幅频特性低频渐近线确定系统的增益

［例5-11］ 已知最小相位系统的渐近线逼近的对数幅频如图5-34所示，请给出对应的系统模型。

［解］ （1）ω1＝0．1前斜率为－20d B／dec，含一个积分环节，由L（ω）∣ω＝0．1＝20lgK－20lgω＝20知K＝1；

（2）ω1＝0．1处斜率由－20d B／dec转为0d B／dec，引入一个一阶微分环节， ；即

（3）ω2＝1处斜率由0d B／dec转为－20d B／dec，引入一个惯性环节，即

（4）ω3＝20处斜率由－20d B／dec转为－40d B／dec，引入一个惯性环节，即

图5-34 系统渐近线逼近的对数幅频

因此系统的传递函数为

环节和增益确定后还必须用实验得到的相频特性曲线来检验已确定的传递函数。如果实验测得的相角在高频时不等于－90°×（n－m），其中n、m分别表示传递函数分母和分子的阶次，那么被测系统必定是一个非最小相位系统，比如传递函数可能包含一个延滞环节。

［例5-12］ 图5-35为根据实验测得的数据绘制的系统Bode图。由图中给出的幅频特性和相频特性实验曲线确定该系统的传递函数。

图5-35 实验测得系统的Bode图

［解］ （1）按±20d B／dec渐近线斜率逼近幅频特性的实验曲线得到图5-35虚线所示渐近线，各频段上的斜率依次为－20d B／dec、－40d B／dec、－20d B／dec、－60d B／dec，由斜率变化知系统中在包含有一个积分环节、一个惯性环节（ω1＝1）、一个微分环节（ω2＝2）和一个振荡环节（ω3＝8）。由低频线经过（1rad／s，20d B）知系统增益K＝10。

（2）暂设为最小相位系统，由渐近线写出该系统的传递函数

式中：阻尼比ζ可根据振荡环节产生谐振的频率ωr求得。由图5-35知ωr＝6rad／s，代入

因此由实验幅频特性求得的对应于最小相位系统的传递函数为

（3）计算最小相位系统的相频特性

如图5-35中虚线所示。

最小相位系统的相频特性曲线在高频时相角为－90°×（n－m）＝－270°，图5-35中最小相位系统相频特性曲线与实验测得的相频特性曲线不吻合，说明实际上该系统是非最小相位系统，含有非最小相位环节。从相频特性实验曲线知系统相位滞后量随着频率ω的增大迅速增加，且与理论曲线的差在高频时变化率为一常数，可知系统包含延滞环节。

任取频率ωi，可由

∠［G（jωi）e－jτωi］－∠G（jωi）＝－57．3τω°i

求得时滞

式中：∠［G（jωi）e－jτωi］为ωi时的相频特性的实验数据；∠G（jωi）为理论相频特性在ωi处的相角。

本题中取ωi＝10rad／s，从图5-35的相频特性实验曲线得∠G（j10）e－j10τ＝－333°，理论计算得∠G（j10）＝－212°，故时滞

故系统的传递函数为