土流变的经验本构模型

经验本构模型，一般是直接给出土流变方程的函数形式。经验模型一般可分为应力、应变关系的经验函数型和应力、应变速率关系的经验函数型，即速率型本构关系式。速率型本构关系反映了岩石和土流变过程中的黏滞流动特性，它可分为两种形式：一是时间显式出现在本构关系中；另一种是时间隐含出现在本构关系中，只是包含在应变速率之中。采用两个函数来分别代表应力、应变、时间三者中应力、时间对应变的贡献或应变、时间对应力的贡献，这两个函数有着相互影响的作用，然后通过两者的组合，得到流变方程。

1.蠕变的规律性

蠕变的规律性可以写成变形速度或变形本身γ、应力τ和时间t的关系式，即：

式（3－1）为对应于不同应力值τ的˙γ－t或者γ－t曲线，而式（3－2）为对应于不同时刻t的τ－或者τ－γ曲线。对应于各种τ的γ－t的曲线称为蠕变曲线，而对应于各种t的τ－γ曲线称为等时曲线，后者可从蠕变曲线重新绘制而得（图3－1）。t＝0时刻的等时曲线便是瞬时变形曲线，而图t＝∞时的等时曲线便是稳定变形曲线，这种曲线仅在衰减蠕变时才存在。

其中，等时曲线的相似条件原理如下：

蠕变曲线的相似条件原理如下：

式中，φ（γ）和f（τ）为任意时刻与变形和应力有关的函数；ψ（t）和φ（t）为时间函数，φ（t）也称为蠕变函数。其中，函数ψ（t）和φ（t）必须这样选择，使其在t＝0时它们有不确定的瞬时变形，也就是ψ（0）＝1和φ（0）＝1；在不考虑变形时将有ψ（0）＝0和φ（0）＝0。蠕变曲线和等时曲线的真正相似不是经常能遇到的。由于材料的蠕变试验数据不可避免地有很大的离散性，尤其是土，没有必要很精确地分析描述蠕变曲线。因此在大多数情况下可利用这些近似关系式。

2.应力与变形之间的关系

3.时间函数

4.流变方程式的技术理论

我们常在试验的基础上，通过假设—实验—理论的方法，建立岩土的流变方程式。现简要介绍几种建立流变方程式的理论。

1）老化理论

老化理论又称陈化理论，以假设应变、应力和时间之间关系具有某种函数关系来表示流变方程。即蠕变应变为：

总应变为弹性应变和蠕变应变的总和：

函数φ′（t）表征应变的增长随时间发展而缓慢。老化理论是以等时曲线的分析为基础的，若认为曲线簇相似，则物理方程形式如下：

其中，当蠕变函数取ψ（t）＝ψ（0）＝1，则描述了t＝0时的等时曲线。老化理论仅可用于应力是恒量或应力变化很缓慢的情况，在此试验条件下，老化理论能得到较满意的结果。坐标τ、γ、t中的面，从老化理论的物理方程g＝f（t，t），可以用式F（τ，γ，t）＝0来表达，并绘成三维曲面（τ，γ，t）的形式。这个曲面迹点M（τ，γ，t）分别在3个平面上的投影点为：在τ－γ面上得等时曲线；在γ－t面上得蠕变曲线；在τ－t面上得松弛曲线。

2）流动理论

流动理论认为蠕变的应变速率与应力、时间之间存在着某种简单的函数关系，即硬化理论：

它是假设材料的蠕变方程和黏滞流动的方程具有引用变形的速率时的相似性质。总变形速率是弹性变形速率与蠕变变形速率的总和，即：

其中分别是弹性变形速率与蠕变变形速率。

对于衰减蠕变，x（∞）＝0；稳定蠕变，x（∞）＝恒量；加速蠕变，x（∞）＝∞。若取f（τ）＝τ和x（t）＝1／η＝恒量。式（3－9）变为马克斯韦尔本构方程，故流动理论方程是马克斯韦尔方程的普遍形式。描述了物体的非线性黏滞流动的性质，岩土常属此性质。流动理论方程适用于应力平缓变化的条件下。

3）硬化理论

硬化理论又称强化理论：认为应变速率、应力和应变本身之间存在某种函数关系，由试验结果表明蠕变应变速率、应力和应变本身之间的关系用如下形式表示：

蠕变应变速率不仅与应力有关，而且随着应变的增加应变速率减小，材料仿佛被硬化。式（3－10）中的函数形式可能是多样的，它要根据试验结果来选择合适的函数形式。

4）继效理论

继效理论又称记忆理论或遗传蠕变理论。它认为应考虑既往载荷和变形的历史过程，通常采用积分方程来表示。Boltzmann（1874）首先提出了线性继效理论的物理方程。著名的包尔兹曼（Boltzmann）线性叠加原理认为：在过去某时刻Ti加上的荷载到任一时刻t引起的变形等于每个互不相干的荷载到时刻t引起变形的总和。换句话说，在某时刻的变形不仅与这个时刻的应力值有关，而且与变形的历史有关，仿佛是继承了过去作用应力的影响，由此也产生了遗传蠕变理论。它分为线性遗传蠕变理论和非线性遗传蠕变理论。其中前者对材料的基本假设为：①介质为均质体，各向同性；②蠕变应变与应力之间关系为线性；③应用叠加原理作为推导蠕变应变继效理论的基础。线性继效理论的物理方程的积分方程形式蠕变方程为：

方程右边第一项表示随时间变化的应力σ（t）所引起的在时刻t产生的瞬时变形ε0，而第二项为随时间变化的应力σ（v）产生的随时间发展的变形。其中，K（t－v）为蠕变继效函数，或称遗传方程的核函数，即瞬时v作用的应力对时间t的变形的影响函数，蠕变速度随时间变化的函数。

继效理论用于加载方式是在随时间变化的载荷作用下的蠕变。