对象和任务

第一节　数学的性质、对象和任务

对于数学的性质、对象和任务，维特根斯坦在其前期著作中作过一些简略的论述。他当时着重从数学与逻辑的密切联系这个角度来考察这个问题，认为“数学是一种逻辑方法”（v.1，p.254，§6.2），“数学以方程式来显示由逻辑命题显示于重言式中的世界的逻辑”（v.1，pp.254-255，§6.22）。数学获得其方程式的方法是置换法。方程式表示两个表达式的可置换性，我们按照方程式用一些表达式去取代另一些表达式，这样一来，就能借助于一些方程式而获得一些新的方程式。他说：“数学方法的本质特征在于使用方程式。每个数学命题之所以就其本身即可被理解，就是由于这种方法。”（v.1，p.256，§6.2341）

在其后期，维特根斯坦对这个问题作了更深入的研究和更多的论述，他承认“数学不是一个有严格界定的概念”（v.7，p.223，§46），但他仍然力求对数学的性质、对象和方法提出一些明确的看法。简略说来，他认为数学是知识的一个分支，是各种各样的证明技巧的混合体，数学这种活动不是发现，而是发明；数学的研究对象不是数字，而是数；数学的任务不是描述，而是提供一些用以进行这种描述的框架。

关于数学的性质，维特根斯坦认为，“当然，在一种意义上，数学是知识的一个分支——但它也仍然是一种活动”（v.8，p.319）。他还把数学看做各种各样的证明技巧的混合体。他说：“数学是各种各样的证明技巧的混合体——它的多种多样的应用和重要性即以此为基础。”（v.7，p.123，§46）他强调证明技巧的多样性和数学系统的多样性，认为人们可以不断地引进新的证明技巧和新的数学系统，以至建立新的数学。例如，通过翻译规则，可以把一种已获得证明的命题翻译为另一种已获得证明的命题。他设想以这种方式把现有的某些数学证明系统，甚至一切数学证明系统，与某一个数学证明系统（例如罗素的证明系统）相一致，以致所有的数学证明都可以在这一个证明系统内进行，尽管是以曲折的方式。此时，可以说只有一个证明系统。但他同时提出：“这样就必定可以向一个系统表明：能够把它分解为多个系统——该系统的一部分将具有三角的性质，另一部分将具有代数的性质，等等。”（v.7，p.124，§46）这样一来就可以说，在其中每个部分可以使用不同的证明技巧。他以这个事例表明“数学是丰富多彩的”（v.7，p.129，§48）。

在什么是“数学的对象?”这个问题上，维特根斯坦的观点与古典实在论或数学柏拉图主义者的观点是截然对立的。柏拉图早就提出，几何学是关于永恒性事物的知识。后来，数学柏拉图主义者进一步主张，几何学以及一般数学的研究对象不同于感觉经验的对象，因为数学的研究对象不是存在于时空之中。例如，在“2+3=5”这样的数学表达式中，“2”、“3”或者“5”这些数本身不存在于时空之中。同样，几何学中的三角形和圆本身也不存在于时空之中。这就是说，数学柏拉图主义者强调数学的研究对象的观念性、先验性，把数学知识与经验知识截然对立起来，划分开来。维特根斯坦则强调数学命题的任务不是描述事态，而是提供一个用以进行这种描述的框架。也就是说，数学命题不是描述事态的命题，而是作为描述规则发挥作用的。“2+3=5”这个数学命题就起着规范的作用，用以判断关于某个事态的描述是否正确。因此，他说：“数学形成规范之网。”（v.7，p.338，§67）

对于“数学究竟是与数打交道，还是与数字打交道?”这个问题，有些人认为，数学不是与数打交道，因为数是某种看不见、摸不着的东西，而是与那些看得见、摸得着的数字打交道，与纸上的笔画打交道，数学命题就是关于数字或笔画的问题。维特根斯坦不赞同这样的看法。以“20+15=35”这个数学命题为例，他认为这是一个关于数的命题，而不是一个关于数字或笔画的问题。他说：“不可能把它称为一个关于数字或笔画的陈述或命题；如果我们不得不说它是一个关于数字或笔画的什么东西，那我们可以说它是关于这些数字或笔画的一条规则或者一种约定。”^[1]在他看来，数学是一种语义上的约定，这种约定能使人们在社会生活中相互交往，而且人们是通过训练、通过生活实验习得的。哲学家应当以这种约定为出发点去考察数学哲学问题，去理解数学家的研究成果。

在对数学的任务的看法上，维特根斯坦的观点与古典实在论的观点也是对立的。按照古典实在论的观点，数学对象早已先验地、观念性地存在着，数学家的任务在于发现它们，证明它们的存在。与这种观点对立，维特根斯坦认为数学家的任务主要不是发现早已存在的数学对象（公式、定理、公理等等），而是发明某些数学规则，发明某些计算技巧，甚至发明某种新的数学。他说：“人们谈论数学发现。我却一再试图表明，把那种被称为数学发现的事情改称为数学发明，那会好得多。”^[2]“‘25÷5=5’这不是一种发现；因为这个结果不过是这些符号的用法的一部分。这与我的下述说法有关：最好把‘数学发现’称为‘数学发明’。他发明了一种技巧；至于这种技巧为什么有趣和有用，这不是数学所要考虑的问题。”^[3]维特根斯坦声明，他并没有否认数学家们做过许多重要发现，也并没有轻视他们的成就，他是想在发现某种事物和发明某种事物之间作出一种重要区分。他反复强调：“数学家是发明者，不是发现者。”（v.7，p.60，§168）“但是数学家不是发现者，而是发明者。”（v.7，p.69，§2）他认为“数学家一直在发明新的描述形式。有的人受实际需要的刺激，另一些人出自审美需要，还有些人以其他种种方式”（v.7，p.60，§167）。例如，如果某个人想对序列知道得更多，可以说这个人就必须进入另一个维度。“这进一步的维度的数学完全像任何一门数学一样，必须被发明出来。”（v.7，p.200，§11）

维特根斯坦重视数学在经验领域内的应用，认为这种应用对于数学而言是至关重要的。他说：“对于数学而言至关重要的是，它的符号在被使用时是穿着便服的。正是这种在数学之外的应用，从而也正是符号的意义，使得数学成为一种符号游戏。”（v.7，p.190，§2）与此相关，在纯数学和应用数学这两者中，他更加重视应用数学的作用。他说：“可以想像，人们有应用数学而没有纯数学。他们可以——举例来说，让我们假定——计算某些运动物体所经历的路径，预言它们在某一时间的位置。人们为此目的使用了坐标系统、曲线方程式（一种描述实际运动的形式）以及在十进制系统中的计算技术。纯数学命题的想法对他们来说可能是陌生的。”（v.7，p.169，§15）