双触发器产品的定价原理与模型

(一)损失联合概率分布和精算定价理论

有许多关于双触发器再保险产品定价的理论和模型。典型的是精算定价理论。按照一般保险产品的精算定价原理,要么需要事先知道保险风险损失的概率分布,要么需要知道大量的经验赔付信息,这样才可以确定损失期望值或者平均经验损失值,并将这种期望损失或经验赔付率作为纯费率,再根据承保利润、成本费用的水平,加上一定的附加费率就可以获得再保险产品的费率。对于多触发再保险产品,在缺乏损失经验数据的情况下,获得承保风险的损失概率分布更是关键。

以固定触发器再保险产品为例,双触发器再保险产品的赔付所服从的概率分布应该是险位超赔再保险合约赔付的概率分布与第二触发因素的概率分布的联合分布,这关系到第一触发因素的损失分布,也关系到第一触发因素与第二触发因素之间的相关性。获得这种联合分布成为双触发再保险产品定价的理论基础。然而,如何获得两个触发因素的联合分布涉及非常复杂的概率统计和随机变量的数学问题,有一种称为Copula的函数为这类问题提供了解决途径。

Copula函数也称“相依函数”或“连接函数”,是把多个随机变量的联合分布用它们各自的边缘分布连接起来的函数。Copula理论在国际上被迅速应用到多变量金融时间序列分析、金融风险的管理与防范以及资产定价、保险定价等方面。Copula函数自身有很多优良特性。首先,Copula函数可用于构造灵活的多个随机变量的联合分布。现有的大多数多元分布函数都是一元分布函数的简单延伸,例如,它们通常都要求所有的边缘分布都服从同样的分布(如多元正态分布的所有边缘分布都服从正态分布,多元t分布的所有边缘分布都服从一元t分布),而现在可以将多个任意形式(正态分布、t分布、指数分布、对数正态分布、帕累托分布等)的边缘分布函数通过Cop-ula函数连接起来,生成一个有效的多元联合分布函数。其次,常用的相关系数是线性相关的度量指标,通常只在变量的线性变换下才不会发生改变,而由Copula函数导出的度量相关性的指标,对于严格单调递增的变换都不改变,其应用范围和实用性更广。此外,在Copula应用中,边缘分布可以是参数的或者是非参数的,因此在运用Copula理论构建金融模型时,模型的估计更为简单。由于Copula函数可以捕捉随机变量间非线性、非对称的相关关系,Copula模型是一种基于非线性相关的模型,与现实更接近,也更实用、更有效。下文假设通过某种途径,如利用Copula函数,已经获得了双触发再保险产品承保风险SDL的联合分布。

(二)双触发器再保险产品定价的金融模型

这里用Helmut Gründl和Hato Schmeiser(2002)关于双触发器再保险产品定价的金融模型。

这一模型首先假设资本市场是无套利的,资本市场上交易的产品都可以由资本市场上的金融工具再现,在各市场参加者之间信息是对称的,双触发器再保险产品的出现不会改变原有的价格体系。其次,利用金融市场的资产定价模型(CAPM模型)作为双触发器再保险产品定价的基本方法,遵循公平定价原则,而且要求再保险公司的利润和安全水平不会因这种合同潜在的违约风险而变差,并以最低的分保费需要来定价。

1.不考虑违约风险的定价

根据CAPM模型在保险市场的应用,双触发器再保险产品的均衡价格πDT应满足以下公式:

其中,rf为无风险利率;rm为市场组合的回报率,rm的均值E(rm)和方差Var(rm);λ=(E(rm)-rf)/Var(rm)是市场风险的市场溢价;E(SDL)是双触发器再保险产品的承保损失SDT的期望值,cov(SDT,rm)是SDT与rm的协方差。

如果要同时考虑i与S*的相关性和i与rm的相关性,两者相关性情况的不同的组合,得到不同的πDT。

例如,假设资本市场指数(i)和rm与(S*)完全不相关,rf=3%,rm服从期望值为8%、标准差为4%的正态分布,那么可由rm与i的相关系数ρ(i,rm)计算出πDT。

表5-15 触发器相关性对双触发器再保险产品的均衡价格的影响 单位:美元

从表5-15可以得出,如果ρ(i,rm)越大,则该产品的系统风险越高,相应的分保费就越高。而ρ(i,rm)为0.6时的分保费是ρ(i,rm)为0时分保费的2倍还要多,由此可见,ρ(i,rm)对πDT的影响是非常明显的。再把以上数据和(E(SSL)/(1+rf))≈1 955 466美元相比较,可以发现双触发器再保险产品的分保费明显降低了。

2.考虑有违约风险的定价

下面利用单期模型并使用或有索赔法来建立有违约风险情景下的双触发器再保险产品的定价模型。双触发器再保险有违约风险意味着再保险公司可能将来无力履行赔付义务。考虑再保险公司处于一种简单的投资结构状态:权益资本的投资和再保险承保。令r是再保险公司投资组合的风险收益率,Q0和Q1分别是再保险公司在期初和期末的权益值。令^πDT为考虑违约风险的保费,可以得到下列公式:

Q1=Max[(Q0+)(1+r)-SDT,0](5-2)

按照定义,是一个随机变量。利用风险调整的CAPM方法,

E(r)=rf+β(E(rm)-rf)

其中,rm如前所述是市场组合的回报率,是β系数。这样就推导出在有违约风险的情形下,双触发器再保险产品的分保费定价公式为:

其中,λ=(E(rm)-rf)/Var(rm)。

对分出公司赤字Max[(SDT-(Q0+)(1+r),0]的估计或者由式(5-3)对违约风险的估计就产生了违约看跌期权价值。根据看涨看跌平准公式,卖出期权价值是无违约分保费πDT与考虑违约的分保费π^DT之间的差额。在无套利和无交易成本的市场中,违约卖出期权价值就等于整体风险管理的成本。如果令d DT为双触发器再保险的违约的卖出期权价值,那么,

πDT=+d DT(5-4)

通过这种方式就能让再保险公司在期初和期末处于相同的安全水平。这种原理可以用图5-2予以显示。用R来表示相同的风险程度,R=违约看跌期权价值/分保费收入,π*表示不考虑违约风险的原保单组合的分保费,π^*表示考虑违约风险的原保单组合的分保费收入,d*为原保单组合的违约看跌期权的价值。

图5-2 不改变再保险公司风险状态时的双触发器分保费的确定