运用历史模拟法计算在险价值

目前，计算VaR的方法主要包括历史模拟法和模型构建法。历史模拟法是根据市场变量的历史交易数据直接估计交易组合的价值变化的概率分布，并进而得到VaR值的方法。模型构建法是在假设数据服从固定分布的情况下，运用历史交易数据估计分布函数相关参数，然后根据分布特征得到VaR值的方法。

一、历史模拟法介绍

历史模拟法以历史数据来预测未来。假设，采用过去500天的历史数据来计算一天的展望期、对应于99%置信水平的VaR。历史模拟法的第一步是选择影响交易组合的风险源，这些风险源可能是汇率、股价、利率等，然后需要收集这些风险源在最近的过去500天的数据，通过这些数据可以得到从今天到明天市场变量的不同变化情形。将数据开始的第一天记为0-天(Day 0)，数据开始的第二天记为1-天(Day 1)，依此类推。对于每一种情形，可以计算从今天到明天的交易组合的价值变化，并由此得出交易组合每天价值变化的概率分布图，分布中所对应的1%的分位数对应于500个数据的最坏的价值变化，VaR的估计刚好对应于第1个百分比分位数所对应的损失。假如市场变量的变化是从过去500天提取出来，那么可以有99%的把握肯定，交易组合所对应的损失会小于VaR的估计值。

二、历史模拟法中VaR的精确度

在历史模拟法中，对于交易组合价值变化分布的计算是基于过去发生的有限的观察值，正因为如此，历史模拟法对于分布的分位数的估计并不是绝对精确。

Kendall和Stuart(1972)的研究成果给出了抽样数据计算出的概率分布的分位数的置信区间。假设概率分布的第q个分位数的估计值为x，这一估计的标准差为：

式中：n为观察值的个数;f(x)为对应于损失量x的损失分布的概率密度函数值，这一函数值可以通过将经验数据与标准分布进行匹配来估计。

另外，应该看到，历史模拟法假定市场变量每天变化的联合分布随时间的变化满足稳态条件(Stationary Condition)，这一假设在计算VaR过程中往往不成立了，这对VaR的估计又增加了一定的不确定性。

三、历史模拟法的推广

历史模拟法具有以下两种推广形式。

(1)给予不同的观察值不同的权重。在最初运用历史模拟法时，通常赋予每个观察值相等的权重。准确地说，假设在一次实验中共收集了n天损失变化的数据，那么对于这n个观察值中任意一天所设定的权重应该为。Boudoukh等(1998)指出在观察值中，距离现在越近的数据就越能反映当前市场波动率以及当前市场经济环境的变化，因此在运用历史模拟法时赋予的权重应该越高。一种较为自然的权重选择是使权重随时间回望期的延伸而按照指数速度递减。

(2)自助法(Bootstrap Method)。统计自助法是对历史模拟法的另外一种变形。在自助法中，首先同传统的历史模拟法一样，需要先根据历史数据得到各组交易组合的价值变化，然后对数据进行再替换抽样，并由此产生新的抽样数据，对每一组新的数据都要计算相应的VaR，VaR的置信区间估计恰好介于新产生数据所计算得出的VaR的第2．5个分位数及第97．5个分位数所界定的范围。

四、极值理论

Gnedenko(1943)证明了极值理论的一个主要结论。这一结论可以描述多种概率分布的尾部状态。

假定F(x)为变量X的累积分布函数，u为X右端尾部的一个数值，X介于u到u+y，y＞0之间的概率为F(u+y)-F(u)，X大于u的概率为1-F(u)，定义Fu(y)为在X＞u条件，X介于u到u+y，y＞0之间的条件概率：

数量Fu(y)定义了右端尾部的概率分布，这一数量是在X大于u条件下，变化超出u的累积概率分布。

Gnedenko(1943)的结果表明，对于多种概率分布F(x)，分布Fu(y)(随着u的增长)趋向于广义Pareto分布，广义Pareto分布的累积分布函数为：

这一分布中的两个参数β和ξ必须通过数据得以估计，参数ξ与分布的形状有关，这一参数决定了尾部分布的肥瘦(Heaviness)，参数β是分布的规模因子。

当X大于u条件下，X＞u+y的概率分布为1-Gξ，β(y);而X大于u的概率分布函数为1 -F(u)，因此，可以得到x＞u+y的无条件概率分布为：

［1-F(u)］［1-Gξ，β(y)］

如果n为观察值的总数量，由实证数据所得出的对与1-F(u)的估计值的，因此x＞u+y的无条件概率为：

这意味着，当x很大时，对于尾部累积分布的估计为：

在获得尾部累积分布函数的估计值后，接下来就需要计算置信水平为q的VaR，需要对以下方程求解：

F(VaR)=q

求解后可得：

因此：